Anneau sans diviseur de zéroEn théorie des anneaux, un anneau sans diviseur de zéro () est un anneau unitaire dans lequel un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, autrement dit dans lequel l'implication suivante est vérifiée : En d'autres termes, c'est un anneau dans lequel il n'y a aucun diviseur de zéro (ni à droite, ni à gauche). Certains auteurs exigent également que la condition 1 ≠ 0 soit remplie ou, ce qui revient au même, que l'anneau ait au moins deux éléments.
Resolution (algebra)In mathematics, and more specifically in homological algebra, a resolution (or left resolution; dually a coresolution or right resolution) is an exact sequence of modules (or, more generally, of s of an ), which is used to define invariants characterizing the structure of a specific module or object of this category. When, as usually, arrows are oriented to the right, the sequence is supposed to be infinite to the left for (left) resolutions, and to the right for right resolutions.
Uniform moduleIn abstract algebra, a module is called a uniform module if the intersection of any two nonzero submodules is nonzero. This is equivalent to saying that every nonzero submodule of M is an essential submodule. A ring may be called a right (left) uniform ring if it is uniform as a right (left) module over itself. Alfred Goldie used the notion of uniform modules to construct a measure of dimension for modules, now known as the uniform dimension (or Goldie dimension) of a module.
Module sur un anneauEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.
Théorie des anneauxEn mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.
Dimension theory (algebra)In mathematics, dimension theory is the study in terms of commutative algebra of the notion dimension of an algebraic variety (and by extension that of a scheme). The need of a theory for such an apparently simple notion results from the existence of many definitions of dimension that are equivalent only in the most regular cases (see Dimension of an algebraic variety).
Principal ideal ringIn mathematics, a principal right (left) ideal ring is a ring R in which every right (left) ideal is of the form xR (Rx) for some element x of R. (The right and left ideals of this form, generated by one element, are called principal ideals.) When this is satisfied for both left and right ideals, such as the case when R is a commutative ring, R can be called a principal ideal ring, or simply principal ring. If only the finitely generated right ideals of R are principal, then R is called a right Bézout ring.
