Spectre (topologie)En topologie algébrique, une branche des mathématiques, un spectre est un objet représentant une théorie cohomologique généralisée (qui découle du ). Cela signifie que, étant donné une théorie de cohomologie,il existe des espaces tels que l'évaluation de la théorie cohomologique en degré sur un espace équivaut à calculer les classes d'homotopie des morphismes à l'espace , soit encore.Remarquons qu'il existe plusieurs catégories de spectres différentes conduisant à de nombreuses difficultés techniques, mais ils déterminent tous la même , connue sous le nom de catégorie d'homotopie stable.
Bott periodicity theoremIn mathematics, the Bott periodicity theorem describes a periodicity in the homotopy groups of classical groups, discovered by , which proved to be of foundational significance for much further research, in particular in K-theory of stable complex vector bundles, as well as the stable homotopy groups of spheres. Bott periodicity can be formulated in numerous ways, with the periodicity in question always appearing as a period-2 phenomenon, with respect to dimension, for the theory associated to the unitary group.
Espace classifiantEn mathématiques, un espace classifiant pour un groupe topologique G est la base d’un fibré principal particulier EG → BG appelé fibré universel, induisant tous les fibrés ayant ce groupe de structure sur n’importe quel CW-complexe X par (pullback). Dans le cas d’un groupe discret, la définition d’espace classifiant correspond à celle d’un espace d'Eilenberg-MacLane K(G, 1), c’est-à-dire un espace connexe par arcs dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux en dehors du groupe fondamental (lequel est isomorphe à G).
Homotopy sphereIn algebraic topology, a branch of mathematics, a homotopy sphere is an n-manifold that is homotopy equivalent to the n-sphere. It thus has the same homotopy groups and the same homology groups as the n-sphere, and so every homotopy sphere is necessarily a homology sphere. The topological generalized Poincaré conjecture is that any n-dimensional homotopy sphere is homeomorphic to the n-sphere; it was solved by Stephen Smale in dimensions five and higher, by Michael Freedman in dimension 4, and for dimension 3 (the original Poincaré conjecture) by Grigori Perelman in 2005.
Frank AdamsJohn Frank Adams ( – ) est un mathématicien britannique, l'un des fondateurs de la théorie de l'homotopie. Frank Adams est né à Woolwich, dans la banlieue sud-est de Londres. Il commence ses recherches au Trinity College de Cambridge auprès d'Abram Besicovitch, mais se réoriente rapidement vers la topologie algébrique. En 1956, il soutient à Cambridge un Ph. D., dirigé par Shaun Wylie et devient Fellow du Trinity. Une bourse lui permet de faire un séjour à l'université de Chicago et à l'IAS (Institute for Advanced Study) en 1957-1958 et il séjourne de nouveau à l'IAS en 1961.
Théorie de l'homotopie stableEn mathématiques, la théorie de l'homotopie stable est une partie de la théorie de l'homotopie concernée par les structures et tous les phénomènes qui subsistent après suffisamment d'applications du foncteur de suspension. Un résultat fondateur a été le théorème de suspension de Freudenthal, qui stipule que, étant donné tout espace pointé , les groupes d'homotopie se stabilisent pour suffisamment grand. En particulier, les groupes d'homotopie des sphères se stabilisent pour .
Adams spectral sequenceIn mathematics, the Adams spectral sequence is a spectral sequence introduced by which computes the stable homotopy groups of topological spaces. Like all spectral sequences, it is a computational tool; it relates homology theory to what is now called stable homotopy theory. It is a reformulation using homological algebra, and an extension, of a technique called 'killing homotopy groups' applied by the French school of Henri Cartan and Jean-Pierre Serre. For everything below, once and for all, we fix a prime p.
Fibration de HopfEn géométrie la fibration de Hopf donne une partition de la sphère à 3-dimensions S3 par des grands cercles. Plus précisément, elle définit une structure fibrée sur S3. L'espace de base est la sphère à 2-dimensions S2, la fibre modèle est un cercle S1. Ceci signifie notamment qu'il existe une application p de projection de S3 sur S2, telle que les images réciproques de chaque point de S2 soient des cercles. Cette structure a été découverte par Heinz Hopf en 1931.
Théorème du point fixe de BrouwerEn mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le théorème du point fixe de Brouwer fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction f est définie sur un intervalle fermé borné non vide I et à valeurs dans I. Sous une forme plus générale, la fonction est définie sur un convexe compact K d'un espace euclidien et à valeurs dans K.
Serre spectral sequenceIn mathematics, the Serre spectral sequence (sometimes Leray–Serre spectral sequence to acknowledge earlier work of Jean Leray in the Leray spectral sequence) is an important tool in algebraic topology. It expresses, in the language of homological algebra, the singular (co)homology of the total space X of a (Serre) fibration in terms of the (co)homology of the base space B and the fiber F. The result is due to Jean-Pierre Serre in his doctoral dissertation. Let be a Serre fibration of topological spaces, and let F be the (path-connected) fiber.
Sphère exotiqueEn mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, une sphère exotique est une variété différentielle M qui est homéomorphe, mais non difféomorphe, à la n-sphère euclidienne standard. Autrement dit, M est une sphère du point de vue de ses propriétés topologiques, mais sa structure différentielle (qui définit, par exemple, la notion de vecteur tangent) n'est pas la structure usuelle, d'où l'adjectif « exotique ». La n-sphère unité, Sn, est l'ensemble de tous les n+1-uplets (x1, x2, ...
Espace de ThomEn topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontrjagin et le de Thom. Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954. Soit un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique . Notons l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées : et .
Théorème de suspension de FreudenthalLe théorème de suspension de Freudenthal est un théorème de mathématiques démontré en 1937 par Hans Freudenthal. C'est un résultat fondamental sur l'homotopie, qui explique le comportement des groupes d'homotopie d'un espace pointé lorsqu'on en prend la suspension et qui conduit à la théorie de l'homotopie stable. Soit X un CW-complexe pointé n-connexe. L'application X → Ω(X ∧ S), où Ω désigne le foncteur espace des lacets et ∧ le smash-produit, induit un morphisme de groupesπ(X) → π(Ω(X ∧ S)) ≃ π(X ∧ S).
Entrelacs brunnienEn mathématiques, plus précisément en théorie des nœuds, une sous-branche de la topologie, un entrelacs brunnien est un entrelacs non qui devient trivial si l'un quelconque de ses composants est enlevé. En d'autres termes, couper n'importe laquelle des boucles libère toutes les boucles de l'entrelacs. L'adjectif brunnien vient de Hermann Brunn, qui a rédigé l'article Über Verkettung en 1892 dans lequel il prend pour exemples de tels nœuds. L'entrelacs brunnien le plus simple et le plus connu est le nœud borroméen, un entrelacs de trois éléments non noués entre eux.
Groupe d'homotopieEn mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Tour de PostnikovEn théorie de l'homotopie, une branche de la topologie algébrique, une tour de Postnikov (ou système de Postnikov) est un objet permettant de reconstruire un espace topologique à partir de ses groupes d'homotopie. Une tour de Postnikov pour un espace X connexe par arcs est un morphisme de X vers une suite d'espaces et d'applications continues, ...→ X →...→ X→ X, tel que chaque application X→X induit des isomorphismes des π pour k ≤ n ; π(X) = 0 pour k > n. Tout CW-complexe connexe possède une telle « tour ».
CobordismeEn topologie différentielle, le cobordisme est une relation d'équivalence entre variétés différentielles compactes. Deux variétés compactes M et N sont dites cobordantes ou en cobordisme si leur réunion disjointe peut être réalisée comme le bord d'une variété à bord compacte L. On dit alors que cette variété L est un cobordisme entre M et N, ou bien que L réalise un cobordisme entre M et N. L'existence d'un tel cobordisme implique que M et N soient de même dimension.
Espace des lacetsEn mathématiques, l'espace des lacets d'un espace topologique pointé est l'ensemble des applications continues d'un segment dans cet espace, tel que l'image des deux extrémités du segment coïncide avec le point de base. Muni de la topologie compacte-ouverte, il s'agit d'un invariant homotopique. La concaténation et le renversement des lacets en font un h-groupe. L'espace des lacets d'un CW-complexe a le type d'homotopie d'un CW-complexe. L’espace des lacets est la cofibre de l’inclusion de l’espace des chemins pointés dans l’espace des chemins.
Théorème d'HurewiczEn topologie algébrique, le cas le plus simple du théorème d'Hurewicz – attribué à Witold Hurewicz – est une description du premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique connexe par arcs à l'aide de son groupe fondamental. Le groupe fondamental, en un point x, d'un espace X, est défini comme l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de X en x, muni de la loi de concaténation des lacets. Il est noté π(X, x).
Suspension (mathématiques)En mathématiques, la suspension est une construction topologique définie par écrasement des extrémités d'un cylindre. Elle permet notamment de définir les sphères S par récurrence. Si l'espace topologique est pointé, sa suspension réduite est le quotient de la suspension par le cylindre sur le point de base, c'est un espace pointé avec un point base canonique. La suspension est un foncteur de la catégorie des espaces topologiques (pointés ou non) dans elle-même.
