Concept
La notion d'anneau cohérent est plus faible que celle d'anneau noethérien. Les anneaux cohérents jouissent néanmoins de remarquables propriétés, qu'on peut résumer en disant que sur de tels anneaux, les modules de présentation finie forment une sous-catégorie abélienne pleine de la catégorie des modules (tandis que sur un anneau noethérien, cela est vrai même pour les modules de type fini). On définit également la notion de d'anneaux sur un espace topologique. Soit un anneau et un -module. Il existe des modules libres et pour lesquels on a une suite exacte qui est appelée une présentation de . Le module est de type fini si est de type fini, et il est dit de présentation finie si et sont tous deux de type fini. Un -module est dit cohérent s'il est de type fini et si tout sous-module de type fini de est de présentation finie. Un anneau est dit cohérent à gauche si tout idéal à gauche de de type fini est de présentation finie. On définit de même un anneau cohérent à droite, et un anneau cohérent est un anneau cohérent à gauche qui est cohérent à droite. Par exemple un anneau de polynômes à un nombre infini d'indéterminées à coefficients dans un anneau commutatif noethérien est cohérent, mais n'est pas noethérien. Soit un anneau. Soit un -module à gauche. Les conditions suivantes sont équivalentes: est cohérent à gauche. est de type fini et pour tout entier , le noyau de tout homomorphisme de -modules à gauche est de type fini. est de type fini et pour tout -module à gauche de type fini, pour tout homomorphisme , est de type fini. En outre, les conditions suivantes sont équivalentes: est cohérent à gauche. Tout sous-module de type fini d'un -module libre à gauche de type fini est de présentation finie. Tout -module à gauche de présentation finie est cohérent. Pour tout entier , le noyau de tout homomorphisme de -modules à gauche est de type fini. Un anneau noethérien à gauche est cohérent à gauche. Soit un anneau d'Ore. Cet anneau est un anneau de Sylvester cohérent à droite si, et seulement si l'annulateur à droite de toute matrice ligne (ou de toute matrice) finie à éléments dans est libre.