Théorème de Birkhoff (relativité)

En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild. La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre correspondant à la masse. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec tel que l'aire des sphères soit . Dans ce système de coordonnées et pour , la métrique présente une singularité à . Dans la région , la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à . Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique. L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923. À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer et de Hubert Goenner, et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt puis Stanley Deser et Joel Franklin, il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, . Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques. D'après Deser et Franklin, le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès et par J. Eisland deux ans plus tard. L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate.