Bornological spaceIn mathematics, particularly in functional analysis, a bornological space is a type of space which, in some sense, possesses the minimum amount of structure needed to address questions of boundedness of sets and linear maps, in the same way that a topological space possesses the minimum amount of structure needed to address questions of continuity. Bornological spaces are distinguished by the property that a linear map from a bornological space into any locally convex spaces is continuous if and only if it is a bounded linear operator.
Dual systemIn mathematics, a dual system, dual pair, or duality over a field is a triple consisting of two vector spaces and over and a non-degenerate bilinear map . Duality theory, the study of dual systems, is part of functional analysis. It is separate and distinct to Dual-system Theory in psychology. Pairings A or pair over a field is a triple which may also be denoted by consisting of two vector spaces and over (which this article assumes is the field either of real numbers or the complex numbers ).
Metrizable topological vector spaceIn functional analysis and related areas of mathematics, a metrizable (resp. pseudometrizable) topological vector space (TVS) is a TVS whose topology is induced by a metric (resp. pseudometric). An LM-space is an inductive limit of a sequence of locally convex metrizable TVS.
Partie bornée d'un espace vectoriel topologiqueEn analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée (au sens de von Neumann) si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935. Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale.
Ensemble polaireEn analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual.
Espace séquentielEn mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable. Soit X un espace topologique. Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (xn) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang ». Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (xn) de F vers x implique que x appartient à F.
Topologie initialeEn mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit. La notion duale est celle de topologie finale. Soient X un ensemble et (fi)i∈I une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Yi.
Espace localement convexeEn mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé. Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes : il existe une famille de semi-normes telle que la topologie de E est initiale pour l'ensemble d'applications ; le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.
ÉquicontinuitéEn analyse, un ensemble de fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans un espace uniforme est dit équicontinu en un point de l'espace de départ si ces fonctions non seulement sont toutes continues en ce point, mais le sont d'une façon semblable en un sens explicité plus loin. L'ensemble de fonctions sera dit équicontinu tout court s'il est équicontinu en tout point de l'espace de départ. On parle souvent non d'ensemble, mais de famille de fonctions équicontinues ; ce qui importe cependant reste l'ensemble des fonctions de la famille.
Espace de FréchetUn espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. Cette dénomination fait référence à Maurice Fréchet, mathématicien français ayant participé notamment à la fondation de la topologie et à ses applications en analyse fonctionnelle. C'est dans ce dernier domaine que la structure des espaces de Fréchet se révèle particulièrement utile, notamment en fournissant une topologie naturelle aux espaces de fonctions infiniment dérivables et aux espaces de distributions.
Théorème de Banach-SchauderEn analyse fonctionnelle, le théorème de Banach-Schauder, également appelé théorème de l'application ouverte, est un résultat fondamental qui affirme qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces de Banach (ou plus généralement : deux espaces vectoriels topologiques complètement métrisables) est ouverte. C'est une conséquence importante du théorème de Baire, qui affirme que dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense.
Espace tonneléEn analyse fonctionnelle et dans les domaines proches des mathématiques, les espaces tonnelés sont des espaces vectoriels topologiques où tout ensemble tonnelé - ou tonneau - de l'espace est un voisinage du vecteur nul. La raison principale de leur importance est qu'ils sont exactement ceux pour lesquels le théorème de Banach-Steinhaus s'applique. Nicolas Bourbaki a inventé des termes tels que « tonneau » ou espace « tonnelé » (à partir des tonneaux de vin) ainsi que les espaces « bornologiques ».
Complemented subspaceIn the branch of mathematics called functional analysis, a complemented subspace of a topological vector space is a vector subspace for which there exists some other vector subspace of called its (topological) complement in , such that is the direct sum in the category of topological vector spaces. Formally, topological direct sums strengthen the algebraic direct sum by requiring certain maps be continuous; the result retains many nice properties from the operation of direct sum in finite-dimensional vector spaces.
Opérateur bornéEn mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur. Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble est borné.
Topologie faibleEn mathématiques, la topologie faible d'un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E'. On définit également sur E' une topologie dite faible-* au moyen de E. Dans tout cet article, sauf mention contraire, on notera pour et forme linéaire sur . Soient E un espace vectoriel normé (réel ou complexe), ou plus généralement un espace vectoriel topologique et E' son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E.
Forme linéaireEn algèbre linéaire, une forme linéaire sur un espace vectoriel est une application linéaire sur son corps de base. En dimension finie, elle peut être représentée par une matrice ligne qui permet d’associer à son noyau une équation cartésienne. Dans le cadre du calcul tensoriel, une forme linéaire est aussi appelée covecteur, en lien avec l’action différente des matrices de changement de base.
Espace vectoriel topologiqueEn mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.
Théorème de Banach-SteinhausLe théorème de Banach-Steinhaus fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Publié initialement par Stefan Banach et Hugo Steinhaus en 1927, il a aussi été prouvé indépendamment par Hans Hahn, et a connu depuis de nombreuses généralisations. La formulation originelle de ce théorème est la suivante : Lorsque E est un espace de Banach (donc de Baire), il suffit donc que la famille soit simplement bornée sur une partie comaigre, comme E lui-même.
