GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Quadrilatère inscriptibleEn géométrie, un quadrilatère inscriptible (ou cyclique ) est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le quadrilatère est dit inscrit dans le cercle, et le cercle, circonscrit au quadrilatère. Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si les quatre médiatrices des côtés sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du cercle circonscrit et les médiatrices des diagonales passent par ce point.
Loi des cosinusEn mathématiques, la loi des cosinus est un théorème de géométrie couramment utilisé en trigonométrie, qui relie dans un triangle la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés. Cette loi s'exprime de façon analogue en géométrie plane, sphérique ou hyperbolique. Cette loi généralise le théorème de Pythagore. Les Éléments d'Euclide contenaient déjà une approche géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore dans deux cas particuliers : ceux d'un triangle obtusangle et d'un triangle acutangle.
Cercle circonscritEn géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parfois de polygone cyclique. Les sommets sont alors cocycliques, c'est-à-dire situés sur un même cercle. Si le polygone n'est pas aplati, ce cercle est unique et son centre est le point de concours des médiatrices des côtés. Un polygone n'a pas nécessairement de cercle circonscrit, mais les triangles, les rectangles et les polygones réguliers sont tous inscriptibles.
Théorème de Pythagorethumb|right|alt=Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.|Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante : Si un triangle est rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (ou côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
SemiperimeterIn geometry, the semiperimeter of a polygon is half its perimeter. Although it has such a simple derivation from the perimeter, the semiperimeter appears frequently enough in formulas for triangles and other figures that it is given a separate name. When the semiperimeter occurs as part of a formula, it is typically denoted by the letter s.
Trigonométrievignette|droite|Un triangle rectangle sur lequel est indiqué un angle Â, le côté adjacent à cet angle, le côté opposé à celui-ci, l'hypoténuse du triangle, et son angle droit. vignette|Cercle trigonométrique et angles remarquables vignette|droite|Planche sur la Trigonométrie, 1728 Cyclopaedia. La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus, tangente.
Loi des sinusEn trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés. Elle permet, connaissant deux angles et un côté, de calculer la longueur des autres côtés. Il existe une formule des sinus de présentation analogue en trigonométrie sphérique. Ces lois sont énoncées et démontrées, pour la forme sphérique, par Abu Nasr Mansur au début du et, pour la forme plane, par Nasir al-Din al-Tusi au début du .
IncenterIn geometry, the incenter of a triangle is a triangle center, a point defined for any triangle in a way that is independent of the triangle's placement or scale. The incenter may be equivalently defined as the point where the internal angle bisectors of the triangle cross, as the point equidistant from the triangle's sides, as the junction point of the medial axis and innermost point of the grassfire transform of the triangle, and as the center point of the inscribed circle of the triangle.
Formule de Bretschneidervignette|256x256px| En géométrie, la formule de Bretschneider permet de calculer l'aire d'un quadrilatère non croisé : où, , sont les longueurs des côtés du quadrilatère, le demi-périmètre, et et deux angles opposés quelconques . Remarquons que puisque . Cette formule fonctionne pour un quadrilatère convexe ou concave (mais non croisé), non forcément inscriptible. Elle contient la formule de Brahmagupta de l'aire d'un quadrilatère inscriptible (cas ), ainsi que la formule de Héron de l'aire d'un triangle (cas ).
Trapèzethumb|Exemple de trapèze. Un trapèze est un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés bases. Avec cette définition, les quadrilatères ABCD et ABDC de la figure sont tous deux des trapèzes (dont les côtés (AB) et (CD) sont parallèles). Certains auteurs imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui revient à exclure les « trapèzes croisés » tels que ABDC. Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°, soit π radians.
Alignement (géométrie)vignette|Sur cette figure, les points a1,a2,a3 sont alignés, ainsi que les points b1,b2,b3. En revanche, les points a1,a2,b3 ne sont pas alignés. En géométrie, l’alignement est une propriété satisfaite par certains familles de points, lorsque ces derniers appartiennent collectivement à une même droite. Deux points étant toujours alignés en vertu du premier axiome d’Euclide, la notion d’alignement ne présente d’intérêt qu’à partir d’une collection de trois points.
Triangle isocèlevignette|upright|Un triangle isocèle. En géométrie, un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Plus précisément, un triangle ABC est dit isocèle en A lorsque les longueurs AB et AC sont égales. A est alors le sommet principal du triangle et [BC] sa base. Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux. Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle, ayant ses trois côtés de même longueur.
Aire (géométrie)thumb|L'aire du carré vaut ici 4. En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace. Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée superficie. Informellement, l'aire permet d'exprimer un rapport de grandeur d'une figure relativement à une unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à la limite par approximation.
Hauteur d'un triangleEn géométrie plane, une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et coupant perpendiculairement le côté opposé à ce sommet (éventuellement prolongé). Les pieds des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chacun des sommets sur la droite portant le côté opposé. On donne également le nom de hauteur au segment joignant un sommet et le pied de la hauteur passant par ce sommet, ainsi qu'à la longueur de ce segment, soit la distance séparant un sommet et la droite portant son côté opposé.
ParallélogrammeEn géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leur milieu. En géométrie purement affine, un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes : les vecteurs et sont égaux ; les vecteurs et sont égaux. Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC).
Inégalité triangulaireEn géométrie, l'inégalité triangulaire est le fait que, dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette inégalité est relativement intuitive. Dans la vie ordinaire, comme dans la géométrie euclidienne, cela se traduit par le fait que la ligne droite est le plus court chemin : le plus court chemin d'un point A à un point B est d'y aller tout droit, sans passer par un troisième point C qui ne serait pas sur la ligne droite.
Géométrie hyperboliqueEn mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèle
Médiane (géométrie)Dans son sens le plus courant, une médiane désigne, dans un triangle, une droite joignant un des trois sommets du triangle au milieu du côté opposé. Par extension, en géométrie plane, les médianes d'un quadrilatère sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés. Enfin, en géométrie dans l'espace, les médianes d'un tétraèdre sont les droites passant par un sommet du tétraèdre et par l'isobarycentre des trois autres. Dans un triangle ABC, la médiane issue du sommet A est la droite (AI) où I désigne le milieu du segment [BC].
Distance geometryDistance geometry is the branch of mathematics concerned with characterizing and studying sets of points based only on given values of the distances between pairs of points. More abstractly, it is the study of semimetric spaces and the isometric transformations between them. In this view, it can be considered as a subject within general topology. Historically, the first result in distance geometry is Heron's formula in 1st century AD.
