Assistant de preuveEn informatique (ou en mathématiques assistées par informatique), un assistant de preuve est un logiciel permettant la vérification de preuves mathématiques, soit sur des théorèmes au sens usuel des mathématiques, soit sur des assertions relatives à l'exécution de programmes informatiques. Beaucoup de projets ont été lancés pour formaliser les mathématiques, en 1966, Nicolaas de Bruijn lance le projet Automath, suivi par d'autres projets.
Epigram (programming language)Epigram is a functional programming language with dependent types, and the integrated development environment (IDE) usually packaged with the language. Epigram's type system is strong enough to express program specifications. The goal is to support a smooth transition from ordinary programming to integrated programs and proofs whose correctness can be checked and certified by the compiler. Epigram exploits the Curry–Howard correspondence, also termed the propositions as types principle, and is based on intuitionistic type theory.
Simply typed lambda calculusThe simply typed lambda calculus (), a form of type theory, is a typed interpretation of the lambda calculus with only one type constructor () that builds function types. It is the canonical and simplest example of a typed lambda calculus. The simply typed lambda calculus was originally introduced by Alonzo Church in 1940 as an attempt to avoid paradoxical use of the untyped lambda calculus. The term simple type is also used to refer extensions of the simply typed lambda calculus such as products, coproducts or natural numbers (System T) or even full recursion (like PCF).
Intuitionistic type theoryIntuitionistic type theory (also known as constructive type theory, or Martin-Löf type theory) is a type theory and an alternative foundation of mathematics. Intuitionistic type theory was created by Per Martin-Löf, a Swedish mathematician and philosopher, who first published it in 1972. There are multiple versions of the type theory: Martin-Löf proposed both intensional and extensional variants of the theory and early impredicative versions, shown to be inconsistent by Girard's paradox, gave way to predicative versions.
Typed lambda calculusA typed lambda calculus is a typed formalism that uses the lambda-symbol () to denote anonymous function abstraction. In this context, types are usually objects of a syntactic nature that are assigned to lambda terms; the exact nature of a type depends on the calculus considered (see kinds below). From a certain point of view, typed lambda calculi can be seen as refinements of the untyped lambda calculus, but from another point of view, they can also be considered the more fundamental theory and untyped lambda calculus a special case with only one type.
Agda (programming language)Agda is a dependently typed functional programming language originally developed by Ulf Norell at Chalmers University of Technology with implementation described in his PhD thesis. The original Agda system was developed at Chalmers by Catarina Coquand in 1999. The current version, originally known as Agda 2, is a full rewrite, which should be considered a new language that shares a name and tradition. Agda is also a proof assistant based on the propositions-as-types paradigm, but unlike Coq, has no separate tactics language, and proofs are written in a functional programming style.
Calcul des constructionsLe calcul des constructions (CoC de l'anglais calculus of constructions) est un lambda-calcul typé d'ordre supérieur dans lequel les types sont des valeurs de première classe. Il est par conséquent possible, dans le CoC, de définir des fonctions qui vont des entiers vers les entiers, mais aussi des entiers vers les types ou des types vers les types. Le CoC est fortement normalisant, bien que, d'après le théorème d'incomplétude de Gödel, il soit impossible de démontrer cette propriété dans le CoC lui-même, puisqu'elle implique sa cohérence.
HaskellHaskell est un langage de programmation fonctionnel fondé sur le lambda-calcul et la logique combinatoire. Son nom vient du mathématicien et logicien Haskell Curry. Il a été créé en 1990 par un comité de chercheurs en théorie des langages intéressés par les langages fonctionnels et l'évaluation paresseuse. Le dernier standard est Haskell 2010 : c'est une version minimale et portable du langage conçue à des fins pédagogiques et pratiques, dans un souci d'interopérabilité entre les implémentations du langage et comme base de futures extensions.
Théorie des typesEn mathématiques, logique et informatique, une théorie des types est une classe de systèmes formels, dont certains peuvent servir d'alternatives à la théorie des ensembles comme fondation des mathématiques. Ils ont été historiquement introduits pour résoudre le paradoxe d'un axiome de compréhension non restreint. En théorie des types, il existe des types de base et des constructeurs (comme celui des fonctions ou encore celui du produit cartésien) qui permettent de créer de nouveaux types à partir de types préexistant.
Coq (logiciel)Coq est un assistant de preuve utilisant le langage Gallina, développé par l'équipe PI.R2 de l’Inria au sein du laboratoire PPS du CNRS et en partenariat avec l'École polytechnique, le CNAM, l'Université Paris Diderot et l'Université Paris-Sud (et antérieurement l'École normale supérieure de Lyon). Le nom du logiciel (initialement CoC) est particulièrement adéquat car : il est français ; il est fondé sur le calcul des constructions (CoC abrégé en anglais) introduit par Thierry Coquand.
Pure type systemNOTOC In the branches of mathematical logic known as proof theory and type theory, a pure type system (PTS), previously known as a generalized type system (GTS), is a form of typed lambda calculus that allows an arbitrary number of sorts and dependencies between any of these. The framework can be seen as a generalisation of Barendregt's lambda cube, in the sense that all corners of the cube can be represented as instances of a PTS with just two sorts. In fact, Barendregt (1991) framed his cube in this setting.
Lambda cubethumb|Le lambda-cube. Initialement proposé par Henk Barendregt, le -cube permet de visualiser les différentes dimensions pour lesquelles le calcul des constructions apporte une généralisation par rapport au lambda-calcul simplement typé où un terme ne peut dépendre que d'un autre terme. Chaque axe représente une nouvelle forme d'abstraction : Terme dépendant de type : le polymorphisme ; Type dépendant de type : présence d'opérateurs de types ; Type dépendant de terme. Catégorie:Calculabilité Catégorie:Théor
Unificationvignette|Unifier deux termes, c'est les rendre identiques en remplaçant les variables. En informatique et en logique, l'unification est un processus algorithmique qui, étant donnés deux termes, trouve une substitution qui appliquée aux deux termes les rend identiques. Par exemple, et peuvent être rendus identiques par la substitution et , qui donne quand on l'applique à chacun de ces termes le terme .
Function typeIn computer science and mathematical logic, a function type (or arrow type or exponential) is the type of a variable or parameter to which a function has or can be assigned, or an argument or result type of a higher-order function taking or returning a function. A function type depends on the type of the parameters and the result type of the function (it, or more accurately the unapplied type constructor · → ·, is a higher-kinded type).
Système FLe est un formalisme logique qui permet d'exprimer de façon très riche et très rigoureuse des fonctions et d'y démontrer formellement des propriétés difficiles. Plus précisément, le (également connu sous le nom de lambda-calcul polymorphe ou de lambda-calcul du second ordre) est une extension du lambda-calcul simplement typé introduite indépendamment par le logicien Jean-Yves Girard et par l'informaticien John C. Reynolds. Ce système se distingue du lambda-calcul simplement typé par l'existence d'une quantification universelle sur les types qui permet d'exprimer du polymorphisme.
Kind (type theory)In the area of mathematical logic and computer science known as type theory, a kind is the type of a type constructor or, less commonly, the type of a higher-order type operator. A kind system is essentially a simply typed lambda calculus "one level up", endowed with a primitive type, denoted and called "type", which is the kind of any data type which does not need any type parameters. A kind is sometimes confusingly described as the "type of a (data) type", but it is actually more of an arity specifier.
Idris (programming language)Idris is a purely-functional programming language with dependent types, optional lazy evaluation, and features such as a totality checker. Idris may be used as a proof assistant, but is designed to be a general-purpose programming language similar to Haskell. The Idris type system is similar to Agda's, and proofs are similar to Coq's, including tactics (theorem proving functions/procedures) via elaborator reflection. Compared to Agda and Coq, Idris prioritizes management of side effects and support for embedded domain-specific languages.
Démonstration constructiveUne première vision d'une démonstration constructive est celle d'une démonstration mathématique qui respecte les contraintes des mathématiques intuitionnistes, c'est-à-dire qui ne fait pas appel à l'infini, ni au principe du tiers exclu. Ainsi, démontrer l'impossibilité de l'inexistence d'un objet ne constitue pas une démonstration constructive de son existence : il faut pour cela en exhiber un et expliquer comment le construire. Si une démonstration est constructive, on doit pouvoir lui associer un algorithme.
Déduction naturelleEn logique mathématique, la déduction naturelle est un système formel où les règles de déduction des démonstrations sont proches des façons naturelles de raisonner. C'est une étape importante de l'histoire de la théorie de la démonstration pour plusieurs raisons : contrairement aux systèmes à la Hilbert fondés sur des listes d'axiomes logiques plus ou moins ad hoc, la déduction naturelle repose sur un principe systématique de symétrie : pour chaque connecteur, on donne une paire de règles duales (introduction/élimination) ; elle a conduit Gentzen à inventer un autre formalisme très important en théorie de la démonstration, encore plus « symétrique » : le calcul des séquents ; elle a permis dans les années 1960 d'identifier la première instance de l'isomorphisme de Curry-Howard.
Vérification formelleIn the context of hardware and software systems, formal verification is the act of proving or disproving the correctness of intended algorithms underlying a system with respect to a certain formal specification or property, using formal methods of mathematics. Formal verification can be helpful in proving the correctness of systems such as: cryptographic protocols, combinational circuits, digital circuits with internal memory, and software expressed as source code.
