Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Espace métriqueEn mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions.
Espace normalvignette|Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F. En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal. Soit X un espace topologique.
Espace paracompactUn espace topologique est dit paracompact s'il est séparé et si tout recouvrement ouvert admet un raffinement (ouvert) localement fini. Cette définition a été introduite par le mathématicien français Jean Dieudonné en 1944. On rappelle qu'un recouvrement (X) d'un espace topologique X est dit localement fini si tout point de X possède un voisinage disjoint de presque tous les X, de tous sauf pour un ensemble fini d'indices i.
Espace complètement régulierEn mathématiques, un espace complètement régulier (ou de Tikhonov) est un espace topologique vérifiant une propriété de séparation plus forte que la séparation usuelle et même que la propriété d'être régulier. Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé).
Espace à base dénombrableEn mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La plupart des espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable. Tout espace à base dénombrable est à la fois séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf (en particulier, pour un espace à base dénombrable, les trois propriétés quasi-compact/dénombrablement compact/séquentiellement compact sont équivalentes).
Topologie de la droite réellethumb|Richard Dedekind (1831 - 1916) a défini rigoureusement les nombres réels et posé les bases de leur étude topologique. La topologie de la droite réelle (ou topologie usuelle de R) est une structure mathématique qui donne, pour l'ensemble des nombres réels, des définitions précises aux notions de limite et de continuité. Historiquement, ces notions se sont développées autour de la notion de nombre (approcher des nombres comme la racine carrée de deux ou pi par d'autres plus « maniables ») et de la géométrie de la droite (à laquelle l'espace topologique des nombres réels peut être assimilé), du plan et de l'espace usuels.
Droite de SorgenfreyEn mathématiques, la droite de Sorgenfrey — souvent notée S — est la droite réelle R munie de la topologie (plus fine que la topologie usuelle) dont une base est constituée des intervalles semi-ouverts de la forme [a, b[ (pour a et b réels tels que a < b). Robert Sorgenfrey l'a définie pour démontrer que le produit de deux espaces paracompacts n'est pas toujours paracompact ; c'est aussi un exemple simple d'espace normal dont le carré n'est pas normal.
Espace à bases dénombrables de voisinagesEn mathématiques, un espace topologique X est à bases dénombrables de voisinages si tout point x de X possède une base de voisinages dénombrable, c'est-à-dire s'il existe une suite V, V, V, ... de voisinages de x telle que tout voisinage de x contienne l'un des V. Cette notion a été introduite en 1914 par Felix Hausdorff. Tout espace métrique (donc aussi tout espace métrisable) est à bases dénombrables de voisinages (prendre par exemple V = une boule (ouverte ou fermée) de centre x et de rayon 2).
Variété topologiqueEn topologie, une variété topologique est un espace topologique, éventuellement séparé, assimilable localement à un espace euclidien. Les variétés topologiques constituent une classe importante des espaces topologiques, avec des applications à tous les domaines des mathématiques. Le terme variété peut désigner une variété topologique, ou, le plus souvent, une variété topologique munie d'une autre structure. Par exemple, une variété différentielle est une variété topologique munie d'une structure permettant le calcul différentiel.
Espace séparableEn mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier. espace à base dénombrable Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais : Tout espace pseudométrisable séparable est à base dénombrable.Beaucoup d'espaces usuels sont de ce type.
Espace vectoriel topologiqueEn mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.
Espace topologiqueLa topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage. Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique.
Espace régulierEn mathématiques, un espace régulier est un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantes : T : l'espace est séparé ; T : on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints. vignette|Le point x et le fermé F sont respectivement inclus dans les ouverts U et V, qui sont disjoints. Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé).
Compacité (mathématiques)En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.
Topologie produitEn mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie produit est une topologie définie sur un produit d'espaces topologiques. C'est de manière générale la topologie initiale associée aux projections de l'espace produit vers chacun de ses facteurs : autrement dit, c'est la topologie la moins fine rendant continues les projections. Dans le cas d'un produit fini, la topologie produit permet notamment de définir une topologie naturelle sur Rn à partir de celle de R.
Espace uniformeEn mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire).
Longue droiteLa longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ». En tant qu'ensemble ordonné, la longue droite, L, est le produit lexicographique du premier ordinal non dénombrable ω1 par l'ensemble des réels positifs ou nuls. En tant qu'espace topologique, c'est cet ensemble (totalement) ordonné muni de la topologie de l'ordre (les intervalles ouverts forment une base de la topologie). Cet espace topologique est une variété topologique à bord non séparable.
Convergence simpleEn mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme. Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.
Groupe topologiqueEn mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues. L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique. Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul : Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.
