Nombre triangulairedroite|vignette|upright=1.3|Représentation figurée des quatre premiers nombres triangulaires. vignette|upright=1.3|Le septième nombre triangulaire est 28. En arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier naturel non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est 28.
CarréEn géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits. C’est donc un polygone régulier, qui est à la fois un losange, un rectangle, et par conséquent aussi un parallélogramme particulier. Dans le plan, un carré est invariant par quatre symétries axiales, par deux rotations d’angle droit et par une symétrie centrale par rapport à l’intersection de ses diagonales. Les premières représentations du carré datent de la préhistoire.
Carré (algèbre)En arithmétique et en algèbre, le carré est une opération consistant à multiplier un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux nombres, et en particulier aux entiers naturels, pour lesquels le carré est figuré par une disposition en carré au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé carré parfait. Mais plus généralement, on parle du carré d’une fonction, d’une matrice, ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération notée multiplicativement, comme la composition des endomorphismes ou le produit cartésien.
Cube (algèbre)En algèbre, un cube est la puissance troisième d'un nombre. C'est-à-dire que le cube d'un nombre correspond à la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même, puis en multipliant le résultat par le nombre initial. Exemples : Le terme de cube s'est imposé à une époque où la logique de l'algèbre géométrique était omniprésente. Un nombre était toujours positif et correspondait à la longueur d'un segment. Le cube de ce nombre était vu comme le volume d'un cube de côté la longueur initiale.
Nombre irrationnelUn nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les nombres réels dont le développement décimal n'est pas périodique ou dont le développement en fraction continue est infini. On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants.
Infinithumb|∞ : le symbole infini. Le mot « infini » (-e, -s) est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille. Il vient du latin infīnītus, dérivé de fīnītus « limité » (avec in-, préfixe négatif), issu lui-même du verbe fīnĭo, fīnīre (« délimiter », mais aussi : « préciser », « déterminer », et intransitivement « finir »), et du nom fīnis (souvent au pluriel, fīnes : « bornes, limites d'un champ », « frontières d'un pays ») ; il signifie donc, littéralement « qui est sans borne », mais aussi « indéterminé » et « indéfini ».
Nombre figuréEn arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière et formant une figure géométrique. Il répond donc à une classe particulière de problèmes de dénombrement. Les nombres figurés sont d'origine très ancienne. On attribue généralement à Pythagore les premières études de nombres figurés (nombres carrés). Diophante a résolu plusieurs problèmes les concernant. Pascal a écrit un traité sur le sujet.
Somme (arithmétique)En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Les éléments additionnés s’appellent les termes de la somme. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l'associativité de l'addition, la somme d'un ensemble fini de nombres est bien définie indépendamment de l'ordre dans lequel est faite l'addition, mais il n'existe pas toujours de formule réduite pour l'exprimer.
FactorisationEn mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.
Partie entière et partie fractionnaireright|thumb|Représentation graphique en escalier de la fonction « partie entière ». En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel est l'unique entier relatif (positif, négatif ou nul) tel que On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse : est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à (ce que l'on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de , voir ci-dessous), son existence étant garantie par la propriété d'Archimède.
École pythagoricienneL’école pythagoricienne fondée par Pythagore (580-495 av. J.-C.) en Grande-Grèce constitue une confrérie à la fois scientifique et religieuse : le pythagorisme repose en effet sur une initiation et propose à ses adeptes un mode de vie éthique et alimentaire, ainsi que des recherches scientifiques sur le cosmos. Bien que le terme d'école philosophique soit contesté et qu'on préfère généralement parler de secte pour le pythagorisme, cette association religieuse, politique et philosophique dura neuf ou dix générations, et a joui d'une très grande notoriété aussi bien dans l'antiquité grecque que romaine.
Différence de deux carrésEn mathématiques, la différence de deux carrés est un nombre au carré (multiplié par lui-même) soustrait d'un autre nombre au carré. Toute différence de carrés peut être factorisée selon l'identité: en algèbre élémentaire. La preuve de l'identité de factorisation est simple. En partant du membre de gauche, on applique la loi distributive pour obtenir Par la loi commutative, les deux termes du milieu s'annulent : il reste donc L'identité qui en résulte est l'une des plus utilisées en mathématiques.
Nombre parfaitEn arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la . Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si M = 2 − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est parfait.
Somme des n premiers cubesvignette|droite|upright=1.6|Visualisation graphique de l'égalité. La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers : Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes et en rappelant la somme d'une série arithmétique : Cette identité est parfois appelée théorème de Nicomaque. C'est un cas particulier de la formule de Faulhaber. De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver. Stroeker estime que .
Crible quadratiqueL'algorithme du crible quadratique est un algorithme de factorisation fondé sur l'arithmétique modulaire. C'est en pratique le plus rapide après le crible général des corps de nombres, lequel est cependant bien plus compliqué, et n'est plus performant que pour factoriser un nombre entier d'au moins cent chiffres. Le crible quadratique est un algorithme de factorisation non spécialisé, c'est-à-dire que son temps d'exécution dépend uniquement de la taille de l'entier à factoriser, et non de propriétés particulières de celui-ci.
Théorème des nombres polygonaux de FermatEn théorie additive des nombres, le théorème des nombres polygonaux de Fermat indique que tout entier naturel est une somme d'au plus n nombres n-gonaux. C'est-à-dire que tout entier positif peut être écrit comme la somme de trois nombres triangulaires ou moins, et comme la somme de quatre nombres carrés ou moins, et comme la somme de cinq nombres pentagonaux ou moins, et ainsi de suite. Par exemple, trois représentations du nombre 17, sont montrées ci-dessous : 17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires) ; 17 = 16 + 1 (nombres carrés) ; 17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).
Nombre premiervignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
Résidu quadratiqueEn mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, un entier naturel q est un résidu quadratique modulo n s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module n. Autrement dit, q est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que : Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo n Par exemple : modulo 4, les résidus quadratiques sont les entiers congrus à 2 ≡ 0 = 0 ou à (±1) = 1.
