Topos (mathématiques)En mathématiques, un topos (au pluriel topos ou topoï) est un type particulier de catégorie. La théorie des topoï est polyvalente et est utilisée dans des domaines aussi variés que la logique, la topologie ou la géométrie algébrique. Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue : de limites et colimites finies ; d'exponentielles ; d'un . D'autres définitions équivalentes sont données plus bas.
Catégorie des espaces topologiquesEn mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces. C'est un exemple de catégorie topologique.
Categorical logicNOTOC Categorical logic is the branch of mathematics in which tools and concepts from are applied to the study of mathematical logic. It is also notable for its connections to theoretical computer science. In broad terms, categorical logic represents both syntax and semantics by a , and an interpretation by a functor. The categorical framework provides a rich conceptual background for logical and type-theoretic constructions. The subject has been recognisable in these terms since around 1970.
Objet exponentielEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet exponentiel est un équivalent catégorique à un espace fonctionnel en théorie des ensembles. Les catégories avec tous les produits finis et tous les objets exponentiels sont appelées catégories cartésiennes fermées. Un objet exponentiel peut aussi être appelé un objet puissance ou objet des morphismes. Soit C une catégorie avec produits et soient Y et Z des objets de C. L'objet exponentiel ZY peut être défini comme un morphisme universel du foncteur –×Y à Z.
Foncteur adjointL'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Order theoryOrder theory is a branch of mathematics that investigates the intuitive notion of order using binary relations. It provides a formal framework for describing statements such as "this is less than that" or "this precedes that". This article introduces the field and provides basic definitions. A list of order-theoretic terms can be found in the order theory glossary. Orders are everywhere in mathematics and related fields like computer science. The first order often discussed in primary school is the standard order on the natural numbers e.
Catégorie de foncteursUne catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou : Les objets de sont les foncteurs de dans ; Les morphismes sont les transformations naturelles. Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur .
Produit videEn mathématiques, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. Sa valeur numérique vaut par convention 1. Ce fait est utile en algèbre et dans l'étude des séries entières. Deux exemples fréquents sont a0 = 1 (tout nombre élevé à la puissance 0 donne 1) et 0! = 1 (factorielle de 0 vaut 1). Plus généralement, étant donné une opération de multiplication sur une certaine collection d'objets, le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun objet de l'ensemble.
Espace fonctionnelEn mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble vers un ensemble Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux. Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques : en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble peut être identifié avec l'ensemble des fonctions de à valeurs dans , noté .
Catégorie groupoïdeEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927. Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés. Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.
Simply typed lambda calculusThe simply typed lambda calculus (), a form of type theory, is a typed interpretation of the lambda calculus with only one type constructor () that builds function types. It is the canonical and simplest example of a typed lambda calculus. The simply typed lambda calculus was originally introduced by Alonzo Church in 1940 as an attempt to avoid paradoxical use of the untyped lambda calculus. The term simple type is also used to refer extensions of the simply typed lambda calculus such as products, coproducts or natural numbers (System T) or even full recursion (like PCF).
Produit (catégorie)Dans une catégorie, le produit d'une famille d'objets est sa limite, lorsqu'elle existe. Il est donc caractérisé par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un couple , où X soit un objet de et une famille de morphismes , tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on ait . Si un tel couple existe, on dit que c'est un produit des .
Somme (catégorie)En mathématiques, dans une catégorie, la somme ou coproduit peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on a . Si un tel objet X existe, on l'appelle somme des . Lorsqu'elle existe, la somme des X représente le foncteur qui à un objet Y de associe le produit cartésien .
CurryficationEn informatique, plus précisément en programmation fonctionnelle, la curryfication est la transformation d'une fonction à plusieurs arguments en une fonction à un argument qui retourne une fonction sur le reste des arguments. L'opération inverse est possible et s'appelle la décurryfication. Le terme vient du nom du mathématicien américain Haskell Curry, bien que cette opération ait été introduite pour la première fois par Moses Schönfinkel. Considérons une fonction add qui prend deux arguments (x et y) et en renvoie la somme.
Objet initial et objet finalEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. Donnons-nous une catégorie . Un objet de est dit initial si pour tout objet de , il existe une et une seule flèche de vers . De même, un objet est dit final (ou terminal) si pour tout objet , il existe une et une seule flèche de vers . En particulier, la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité.
Closed monoidal categoryIn mathematics, especially in , a closed monoidal category (or a monoidal closed category) is a that is both a and a in such a way that the structures are compatible. A classic example is the , Set, where the monoidal product of sets and is the usual cartesian product , and the internal Hom is the set of functions from to . A non- example is the , K-Vect, over a field . Here the monoidal product is the usual tensor product of vector spaces, and the internal Hom is the vector space of linear maps from one vector space to another.
Algèbre de HeytingEn mathématiques, une algèbre de Heyting est une structure algébrique introduite en 1930 par le mathématicien néerlandais Arend Heyting pour rendre compte formellement de la logique intuitionniste de Brouwer, alors récemment développée. Les algèbres de Heyting sont donc pour la logique intuitionniste analogue à ce que sont des algèbres de Boole pour la logique classique : un modèle formel permettant d'en fixer les propriétés.
Lambda-calculLe lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. On y manipule des expressions appelées λ-expressions, où la lettre grecque λ est utilisée pour lier une variable. Par exemple, si M est une λ-expression, λx.M est aussi une λ-expression et représente la fonction qui à x associe M. Le λ-calcul a été le premier formalisme pour définir et caractériser les fonctions récursives : il a donc une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel.
ApplyIn mathematics and computer science, apply is a function that applies a function to arguments. It is central to programming languages derived from lambda calculus, such as LISP and Scheme, and also in functional languages. It has a role in the study of the denotational semantics of computer programs, because it is a continuous function on complete partial orders. Apply is also a continuous function in homotopy theory, and, indeed underpins the entire theory: it allows a homotopy deformation to be viewed as a continuous path in the space of functions.
Produit cartésienvignette|Illustration d'un produit cartésien A x B où A={x,y,z} et B={1,2,3}. Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes. En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé également ensemble-produit, est l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de produit cartésien fini, qui est un ensemble de n-uplets dont les composantes appartiennent à n ensembles.
