Transformation naturelleEn théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs. Soient et deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de dans .
Cone (category theory)In , a branch of mathematics, the cone of a functor is an abstract notion used to define the of that functor. Cones make other appearances in category theory as well. Let F : J → C be a in C. Formally, a diagram is nothing more than a functor from J to C. The change in terminology reflects the fact that we think of F as indexing a family of and morphisms in C. The J is thought of as an "index category". One should consider this in analogy with the concept of an indexed family of objects in set theory.
Produit directLa plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques. Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante : Si et sont associatives, alors la loi est associative.
Catégorie additiveLes catégories additives jouent un rôle essentiel en théorie des catégories. De très nombreuses catégories rencontrées en pratique sont en effet additives. Toute catégorie abélienne (telle que la catégorie des groupes abéliens, ou celle des modules à gauche sur un anneau, ou encore celle des faisceaux de modules sur un espace localement annelé) est additive. Néanmoins, dès qu'on munit d'une topologie des objets appartenant à une catégorie abélienne, et qu'on exige des morphismes qu'ils soient des applications continues, on obtient une catégorie qui n'est généralement plus abélienne, mais qui est souvent additive.
Preadditive categoryIn mathematics, specifically in , a preadditive category is another name for an Ab-category, i.e., a that is over the , Ab. That is, an Ab-category C is a such that every hom-set Hom(A,B) in C has the structure of an abelian group, and composition of morphisms is bilinear, in the sense that composition of morphisms distributes over the group operation. In formulas: and where + is the group operation. Some authors have used the term additive category for preadditive categories, but here we follow the current trend of reserving this term for certain special preadditive categories (see below).
SubcategoryIn mathematics, specifically , a subcategory of a C is a category S whose are objects in C and whose morphisms are morphisms in C with the same identities and composition of morphisms. Intuitively, a subcategory of C is a category obtained from C by "removing" some of its objects and arrows. Let C be a category. A subcategory S of C is given by a subcollection of objects of C, denoted ob(S), a subcollection of morphisms of C, denoted hom(S).
