Center (ring theory)In algebra, the center of a ring R is the subring consisting of the elements x such that xy = yx for all elements y in R. It is a commutative ring and is denoted as ; "Z" stands for the German word Zentrum, meaning "center". If R is a ring, then R is an associative algebra over its center. Conversely, if R is an associative algebra over a commutative subring S, then S is a subring of the center of R, and if S happens to be the center of R, then the algebra R is called a central algebra.
Unit (ring theory)In algebra, a unit or invertible element of a ring is an invertible element for the multiplication of the ring. That is, an element u of a ring R is a unit if there exists v in R such that where 1 is the multiplicative identity; the element v is unique for this property and is called the multiplicative inverse of u. The set of units of R forms a group R^× under multiplication, called the group of units or unit group of R. Other notations for the unit group are R∗, U(R), and E(R) (from the German term Einheit).
NilpotentEn mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que x = 0. Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice est nilpotente parce que A = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent. Dans l'anneau Z/9Z, la classe de 3 est nilpotente parce que 3 est congru à 0 modulo 9. L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.
Clôture (mathématiques)On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci-dessous. En mathématiques, on dit qu'une partie A d'un ensemble E est stable (ou close) pour une opération définie sur E si cette opération, appliquée à des éléments de A, produit toujours un élément de A. Par exemple, l'ensemble des nombres réels est stable par soustraction, tandis que l'ensemble des entiers naturels ne l'est pas (la différence de deux entiers naturels est parfois un entier relatif strictement négatif).
CoquaternionEn mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton inventés en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents. L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré.
Catégorie des anneauxEn mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire. La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi : Les objets sont les anneaux ; Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné. La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing.
Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Élément entierEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs) et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss. On fixe un anneau commutatif A.
Matrix ringIn abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.
Caractéristique d'un anneauEn algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro. On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ». La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.
Nombre dualEn mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément ε avec la propriété ε = 0 (ε est un élément nilpotent). Ils ont été introduits par William Clifford en 1873. Ils sont notamment utiles pour fournir un outil de dérivation automatique. Ils ont également des applications en physique. Tout nombre dual s'écrit de façon unique sous la forme z = a + bε avec a et b réels.
Reduced ringIn ring theory, a branch of mathematics, a ring is called a reduced ring if it has no non-zero nilpotent elements. Equivalently, a ring is reduced if it has no non-zero elements with square zero, that is, x2 = 0 implies x = 0. A commutative algebra over a commutative ring is called a reduced algebra if its underlying ring is reduced. The nilpotent elements of a commutative ring R form an ideal of R, called the nilradical of R; therefore a commutative ring is reduced if and only if its nilradical is zero.
Anneau nulEn mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton . On a : Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition. Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A = 0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément de A, on a : L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e.
Morphisme d'anneauxUn morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B. Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tous a, b dans A : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b) f(1A) = 1B.
