Dérivée covarianteEn géométrie différentielle, la dérivée covariante est un outil destiné à définir la dérivée d'un champ de vecteurs sur une variété. Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la connexion, à part la manière dont elles sont introduites. (Cela est faux quand la dérivée covariante n'existe pas en revanche ).
Transport parallèlevignette|Transport parallèle d'un vecteur autour d'une boucle fermée (de A à N à B et retour en A) sur une sphère. L'angle par lequel il a tourné est proportionnel à l'aire intérieure à la boucle. En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le transport parallèle est une façon de définir une relation entre les géométries autour de points le long d'une courbe définie sur une surface, ou plus généralement sur une variété.
Tenseur de torsionEn géométrie différentielle, la torsion constitue, avec la courbure, une mesure de la façon dont une base mobile évolue le long des courbes, et le tenseur de torsion en donne l'expression générale dans le cadre des variétés, c'est-à-dire des « espaces courbes » de toutes dimensions. La torsion se manifeste en géométrie différentielle classique comme une valeur numérique associée à chaque point d'une courbe de l'espace euclidien.
Connexion affineEn mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, une connexion affine est un objet géométrique défini sur une variété différentielle, qui connecte des espaces tangents voisins, et permet ainsi à des champs de vecteurs tangents d'être dérivés comme si c'étaient des fonctions définies sur la variété et prenant leurs valeurs dans un unique espace vectoriel.
Symboles de ChristoffelEn mathématiques et en physique, les symboles de Christoffel (ou coefficients de Christoffel, ou coefficients de connexion) sont une expression de la connexion de Levi-Civita dérivée du tenseur métrique. Les symboles de Christoffel sont utilisés dans les calculs pratiques de la géométrie de l'espace : ce sont des outils de calculs concrets, par exemple pour déterminer les géodésiques des variétés riemanniennes, mais en contrepartie leur manipulation est relativement longue, notamment du fait du nombre de termes impliqués.
Tenseur de Riemannvignette|Motivation de la courbure de Riemann pour les variétés sphériques. En géométrie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus généralement d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion. Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Le parallélisme ne sera pas nécessairement conservé en d'autres points de l'espace.
Ricci calculusIn mathematics, Ricci calculus constitutes the rules of index notation and manipulation for tensors and tensor fields on a differentiable manifold, with or without a metric tensor or connection. It is also the modern name for what used to be called the absolute differential calculus (the foundation of tensor calculus), developed by Gregorio Ricci-Curbastro in 1887–1896, and subsequently popularized in a paper written with his pupil Tullio Levi-Civita in 1900.
GéodésiqueEn géométrie, une géodésique est la généralisation d'une ligne droite du plan ou de l'espace euclidien, au cadre des surfaces, ou plus généralement des variétés ou des espaces métriques. Elles sont étroitement liées à la notion de plus court chemin relativement à un calcul de distance sur un tel espace. Ainsi, le plus court chemin (ou les plus courts chemins, s'il en existe plusieurs), entre deux points est toujours une géodésique. Mais plus précisément, on appelle géodésique une courbe qui, à l'échelle locale, relie les points en minimisant la distance.
Dérivée de LieLa dérivée de Lie est une opération de différentiation naturelle sur les champs de tenseurs, en particulier les formes différentielles, généralisant la dérivation directionnelle d'une fonction sur un ouvert de ou plus généralement sur une variété différentielle. On note ici M une variété différentielle de dimension n, ΩM l'espace des formes différentielles sur M et X un champ de vecteurs sur M. On peut définir la dérivée de Lie des formes différentielles sur M essentiellement de deux façons.
Gregorio Ricci-CurbastroGregorio Ricci-Curbastro (né le à Lugo, dans la province de Ravenne, en Émilie-Romagne et mort le à Bologne) est un mathématicien italien de la fin du et du début du . Spécialiste de la géométrie différentielle, il est l'un des pères du calcul tensoriel. Ricci-Curbastro étudia dès l'âge de seize ans la philosophie et les mathématiques à l'Université de Rome, publiant même un article sur les « Recherches de Fuchs sur les équations différentielles linéaires » ; après une période d'interruption, il les poursuivit à l’Université de Bologne (1872) et l’École normale supérieure de Pise dont il sortit diplômé (1875).
Champ tensorielEn mathématiques, en physique et en ingénierie, un champ tensoriel est un concept très général de quantité géométrique variable. Il est utilisé en géométrie différentielle et dans la théorie des variétés, en géométrie algébrique, en relativité générale, dans l'analyse des contraintes et de la déformation dans les matériaux, et en de nombreuses applications dans les sciences physiques et dans le génie. C'est une généralisation de l'idée de champ vectoriel, lui-même conçu comme un « vecteur qui varie de point en point », à celle, plus riche, de « tenseur qui varie de point en point ».
Géométrie riemanniennevignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.
Elwin Bruno ChristoffelElwin Bruno Christoffel (1829-1900) est un mathématicien et physicien allemand. Il étudie à l'université Humboldt de Berlin, notamment avec Dirichlet. Il soutient une thèse sur la propagation de l'électricité dans les corps homogènes en 1856. En 1859, Christoffel devient Privat-docent à l'université de Berlin. En 1862, il est nommé à l'École polytechnique fédérale de Zurich où il occupe la chaire laissée vacante par le départ de Dedekind.
Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Connexion de KoszulEn géométrie différentielle, une connexion (de Koszul) est un opérateur sur les sections d'un fibré vectoriel. Cette notion a été introduite par Jean-Louis Koszul en 1950 et formalise le transport parallèle de vecteurs le long d'une courbe en termes d'équation différentielle ordinaire. Les connexions sont des objets localement définis auxquels sont associées les notions de courbure et de torsion. L'un des exemples les plus simples de connexions de Koszul sans torsion est la connexion de Levi-Civita naturellement définie sur le fibré tangent de toute variété riemannienne.
Vertical and horizontal bundlesIn mathematics, the vertical bundle and the horizontal bundle are vector bundles associated to a smooth fiber bundle. More precisely, given a smooth fiber bundle , the vertical bundle and horizontal bundle are subbundles of the tangent bundle of whose Whitney sum satisfies . This means that, over each point , the fibers and form complementary subspaces of the tangent space . The vertical bundle consists of all vectors that are tangent to the fibers, while the horizontal bundle requires some choice of complementary subbundle.
Image réciproque (géométrie différentielle)En mathématiques, la construction d'une image réciproque pour certains objets est une des opérations de base de la géométrie différentielle. Elle permet d'obtenir un nouvel objet, résultant du « transport » de l'objet initial par une certaine application. On considère ainsi les images réciproques des formes différentielles, des fibrés et de leurs sections et de façon générale tous les objets qui peuvent être composés à droite par l'application de transport.
Géométrie différentiellevignette|Exemple d'objets étudiés en géométrie différentielle. Un triangle dans une surface de type selle de cheval (un paraboloïde hyperbolique), ainsi que deux droites parallèles. En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.
Forme de connexionEn géométrie différentielle, une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un -fibré principal qui vérifie certains axiomes. La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante, de relevé horizontal, de transport parallèle, d'holonomie et de théorie de jauge. La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann. Soient : un groupe de Lie ; l'élément identité de ; l'algèbre de Lie de ; la représentation adjointe de sur ; une variété différentielle ; un -fibré principal sur .
Tenseur métriqueEn géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice symétrique, généralement notée , pour ne pas confondre la matrice (en majuscule) et le tenseur métrique g.
