Billard (mathématiques)Un billard mathématique est un système dynamique dans lequel une particule alterne des mouvements libres sur une surface et des rebonds sur une paroi, sans perte de vitesse. L'angle de rebond est identique à l'angle d'incidence au moment de choc. Ces systèmes dynamiques sont des idéalisations hamiltoniennes du jeu de billard, mais où le domaine encadré par la frontière peut avoir d'autres formes qu'un rectangle et même être multidimensionnel. Les billards dynamiques peuvent aussi être étudiés sur des géométries non euclidiennes.
SolitonUn soliton est une onde solitaire qui se propage sans se déformer dans un milieu non linéaire et dispersif. On en trouve dans de nombreux phénomènes physiques de même qu'ils sont la solution de nombreuses équations aux dérivées partielles non linéaires. thumb|Soliton hydrodynamique. Le phénomène associé a été observé pour la première fois en 1834 par l'Écossais John Scott Russell qui l'a observé initialement en se promenant le long d'un canal : il a suivi pendant plusieurs kilomètres une vague remontant le courant qui ne semblait pas vouloir faiblir.
Lax pairIn mathematics, in the theory of integrable systems, a Lax pair is a pair of time-dependent matrices or operators that satisfy a corresponding differential equation, called the Lax equation. Lax pairs were introduced by Peter Lax to discuss solitons in continuous media. The inverse scattering transform makes use of the Lax equations to solve such systems. A Lax pair is a pair of matrices or operators dependent on time and acting on a fixed Hilbert space, and satisfying Lax's equation: where is the commutator.
Théorème de Frobenius (géométrie différentielle)Le théorème de Frobenius donne une condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité locale d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre dont le membre de droite dépend des variables, des inconnues, mais ne dépend pas de dérivées partielles de ces inconnues : un tel système d'équations aux dérivées partielles est appelé un « système de Pfaff ». Les fonctions du second membre sont supposées seulement de classe , ce qui rend impossible l'application du théorème de Cauchy-Kowalevski, qui suppose ces fonctions analytiques.
Hamiltonian systemA Hamiltonian system is a dynamical system governed by Hamilton's equations. In physics, this dynamical system describes the evolution of a physical system such as a planetary system or an electron in an electromagnetic field. These systems can be studied in both Hamiltonian mechanics and dynamical systems theory. Informally, a Hamiltonian system is a mathematical formalism developed by Hamilton to describe the evolution equations of a physical system.
Variété de PoissonEn géométrie, une structure de Poisson sur une variété différentielle est un crochet de Lie (appelé crochet de Poisson dans ce cas) sur l'algèbre des fonctions lisses de à valeurs réelles, vérifiant formule de Leibniz En d'autres termes, une structure de Poisson est structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel des fonctions lisses sur de sorte que est un champ de vecteurs pour toute fonction lisse , appelé champ de vecteurs hamiltonien associé à . Soit une variété différentielle.
Espace de Hilbertvignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
FeuilletageEn mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, on dit qu'une variété est feuilletée, ou munie d'un feuilletage, si elle se décompose en sous-variétés de même dimension, appelées feuilles, qui localement, s'empilent comme les sous-espaces R × R. Formellement, un feuilletage sur est un atlas feuilleté, autrement dit une famille de cartes locales , où , et les changements de carte préservent cette décomposition : pour tout , . thumb|Schéma de changement de carte feuilletée.
Crochet de PoissonEn mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables et , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases d'un système physique, par : où les variables, dites canoniques, sont les coordonnées généralisées et les moments conjugués . C'est un cas particulier de crochet de Lie. Avant de continuer, soulignons au passage qu'il existe deux conventions de signes au crochet de Poisson. La définition donnée ci-haut est dans la convention de signe employée par Dirac, Arnold , Goldstein et de Gosson pour n'en citer que quelques-uns.
Inverse scattering transformIn mathematics, the inverse scattering transform is a method for solving some non-linear partial differential equations. The method is a non-linear analogue, and in some sense generalization, of the Fourier transform, which itself is applied to solve many linear partial differential equations. The name "inverse scattering method" comes from the key idea of recovering the time evolution of a potential from the time evolution of its scattering data: inverse scattering refers to the problem of recovering a potential from its scattering matrix, as opposed to the direct scattering problem of finding the scattering matrix from the potential.
Équation différentielle ordinaireEn mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables.
Hamiltonien de HeisenbergDans la théorie du magnétisme quantique, l'hamiltonien de Heisenberg décrit un ensemble de moments magnétiques localisés en interaction. Cet hamiltonien s'écrit : où est le magnéton de Bohr, est le rapport gyromagnétique du i-ème moment localisé, est un opérateur de spin, est le champ magnétique externe, et est la constante d'échange. Pour l'interaction est antiferromagnétique et pour elle est ferromagnétique. En général, les sites i sont placés sur les nœuds d'un réseau régulier.
Géométrie de contactLa géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent.
Bethe ansatzIn physics, the Bethe ansatz is an ansatz for finding the exact wavefunctions of certain quantum many-body models, most commonly for one-dimensional lattice models. It was first used by Hans Bethe in 1931 to find the exact eigenvalues and eigenvectors of the one-dimensional antiferromagnetic isotropic (XXX) Heisenberg model. Since then the method has been extended to other spin chains and statistical lattice models. "Bethe ansatz problems" were one of the topics featuring in the "To learn" section of Richard Feynman's blackboard at the time of his death.
Transformation canoniqueEn mécanique hamiltonienne, une transformation canonique est un changement des coordonnées canoniques (q, p, t) → (Q, P, t) qui conserve la forme des équations de Hamilton, sans pour autant nécessairement conserver le Hamiltonien en lui-même. Les transformations canoniques sont utiles pour les équations de Hamilton-Jacobi (une technique utile pour calculer les quantités conservées) et le théorème de Liouville (à la base de la mécanique statistique classique).
Théorie des représentationsLa théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
Sigma modelIn physics, a sigma model is a field theory that describes the field as a point particle confined to move on a fixed manifold. This manifold can be taken to be any Riemannian manifold, although it is most commonly taken to be either a Lie group or a symmetric space. The model may or may not be quantized. An example of the non-quantized version is the Skyrme model; it cannot be quantized due to non-linearities of power greater than 4. In general, sigma models admit (classical) topological soliton solutions, for example, the Skyrmion for the Skyrme model.
Réseau de TodaEn physique du solide, le réseau de Toda, introduit par en 1967, est un modèle simple pour un cristal unidimensionnel. Il est donné par une chaîne de particules dont l'interaction avec le voisin le plus proche est décrit par l'opérateur hamiltonien et les équations du mouvement où est le déplacement de la -ième particule depuis sa position d'équilibre, est sa quantité de mouvement (masse ), et est le potentiel Toda.
Action-angle coordinatesIn classical mechanics, action-angle variables are a set of canonical coordinates that are useful in characterizing the nature of commuting flows in integrable systems when the conserved energy level set is compact, and the commuting flows are complete. Action-angle variables are also important in obtaining the frequencies of oscillatory or rotational motion without solving the equations of motion. They only exist, providing a key characterization of the dynamics, when the system is completely integrable, i.
Three-body problemIn physics and classical mechanics, the three-body problem is the problem of taking the initial positions and velocities (or momenta) of three point masses and solving for their subsequent motion according to Newton's laws of motion and Newton's law of universal gravitation. The three-body problem is a special case of the n-body problem. Unlike two-body problems, no general closed-form solution exists, as the resulting dynamical system is chaotic for most initial conditions, and numerical methods are generally required.
