Théorème d'uniformisation de RiemannEn mathématiques, le théorème d'uniformisation de Riemann est un résultat de base dans la théorie des surfaces de Riemann, c'est-à-dire des variétés complexes de dimension 1. Il assure que toute surface de Riemann simplement connexe peut être mise en correspondance biholomorphe avec l'une des trois surfaces suivantes : le plan complexe C, le disque unité de ce plan, ou la sphère de Riemann, c'est-à-dire la droite projective complexe P1(C). Théorème d'uniformisation Transformation conforme Catégorie:Surface
Transformation conformeEn mathématiques, et plus précisément en géométrie et en analyse complexe, une transformation conforme est une bijection qui conserve localement les angles, c'est-à-dire qui se comporte au voisinage de chaque point où elle est définie presque comme une similitude. Dans le plan, les transformations conformes qui conservent les angles orientés ont une telle utilité qu'il est fréquent qu'elles soient les seules baptisées du terme de conformes. Elles se confondent alors avec les bijections holomorphes.
Surface de RiemannEn géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui accompagnent certains prolongements analytiques de fonctions holomorphes. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété différentielle réelle de dimension 2, d'où le nom surface. Elles ont été nommées en hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann.
Transformation de MöbiusEn mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de noté , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.
Constantin CarathéodoryConstantin Carathéodory (Κωνσταντῖνος Καραθεoδωρῆς) (né le à Berlin et mort le à Munich) est un mathématicien grec auteur d'importants travaux en théorie des fonctions à variables réelles, calcul des variations et théorie de la mesure. En 1909, Carathéodory fit œuvre de pionnier dans la formulation axiomatique de la thermodynamique en utilisant une approche purement géométrique. Constantin Carathéodory naît à Berlin de parents grecs phanariotes, puis il grandit à Bruxelles, où son père Stéphane Carathéodory était ambassadeur de l'Empire ottoman en Belgique.
Beltrami equationIn mathematics, the Beltrami equation, named after Eugenio Beltrami, is the partial differential equation for w a complex distribution of the complex variable z in some open set U, with derivatives that are locally L2, and where μ is a given complex function in L∞(U) of norm less than 1, called the Beltrami coefficient, and where and are Wirtinger derivatives. Classically this differential equation was used by Gauss to prove the existence locally of isothermal coordinates on a surface with analytic Riemannian metric.
BiholomorphismIn the mathematical theory of functions of one or more complex variables, and also in complex algebraic geometry, a biholomorphism or biholomorphic function is a bijective holomorphic function whose inverse is also holomorphic. Formally, a biholomorphic function is a function defined on an open subset U of the -dimensional complex space Cn with values in Cn which is holomorphic and one-to-one, such that its is an open set in Cn and the inverse is also holomorphic. More generally, U and V can be complex manifolds.
Sphère de RiemannEn mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté .
Lemme de SchwarzLe lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le . Soit une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que : Alors on a : pour tout appartenant à D et .Si, de plus, il existe un élément non nul de D vérifiant , ou bien si , alors il existe un nombre complexe de module 1 tel que pour tout appartenant à .
Fonction univalenteEn mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective. Toute transformation de Möbius d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, où est univalente. On peut démontrer que si et sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et est une fonction univalente tel que (c'est-à-dire que est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de , notée , est également holomorphe.
Carathéodory's theorem (conformal mapping)In mathematics, Carathéodory's theorem is a theorem in complex analysis, named after Constantin Carathéodory, which extends the Riemann mapping theorem. The theorem, first proved in 1913, states that any conformal mapping sending the unit disk to some region in the complex plane bounded by a Jordan curve extends continuously to a homeomorphism from the unit circle onto the Jordan curve. The result is one of Carathéodory's results on prime ends and the boundary behaviour of univalent holomorphic functions.
Disque unitédroite|vignette|Disque unité ouvert avec la distance euclidienne. En mathématiques, le disque unité ouvert autour de P (où P est un point donné dans le plan), est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure à 1 : Le disque unité fermé autour de P est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure ou égale à un : Les disques unités sont des cas particuliers de disques et de boules unités ; en tant que tels, ils contiennent l'intérieur du cercle unité et, dans le cas du disque unité fermé, le cercle unité lui-même.
Bernhard RiemannGeorg Friedrich Bernhard Riemann, né le à Breselenz, royaume de Hanovre, mort le à Selasca, hameau de la commune de Verbania, royaume d'Italie, est un mathématicien allemand. Influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l'analyse, la géométrie différentielle et au calcul, certaines d'entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale. Bernhard Riemann est né à Breselenz, un village du royaume de Hanovre.
Connexité simpleEn topologie générale et en topologie algébrique, la notion de simple connexité raffine celle de connexe par arcs. Dans un espace connexe par arcs, deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. Dans un espace simplement connexe, cela est toujours possible d'une et une seule façon, l'unicité étant à comprendre au sens de « à déformation (isotopie) près ». Intuitivement, là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».
Couronne (géométrie)En géométrie, une couronne ou plus précisément une couronne circulaire est une région du plan comprise entre deux cercles concentriques de rayons différents. Elle a deux rayons qui sont ceux de chacun des deux cercles. Une couronne sphérique ou couronne solide est une généralisation à trois dimensions de la couronne circulaire. C'est la région entre deux sphères concentriques de rayons différents. Elle a aussi deux rayons. On appelle épaisseur de la couronne la différence des deux rayons, qui vaut (notations de la première image).
Fonction de plusieurs variables complexesLa théorie des fonctions de plusieurs variables complexes est une branche des mathématiques traitant des fonctions à variables complexes. On définit de cette manière une fonction de Cn dans C, dont on peut noter les variables . L'analyse complexe correspond au cas . H. Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris, 1961. C. Laurent-Thiébaut : Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. EDP Sciences, 1997. V.S.
Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Geometric function theoryGeometric function theory is the study of geometric properties of analytic functions. A fundamental result in the theory is the Riemann mapping theorem. The following are some of the most important topics in geometric function theory: Conformal map A conformal map is a function which preserves angles locally. In the most common case the function has a domain and range in the complex plane. More formally, a map, with is called conformal (or angle-preserving) at a point if it preserves oriented angles between curves through with respect to their orientation (i.
