CaténoïdeLa caténoïde (prononciation : ) (du latin catena, « chaîne ») est une surface minimale entre deux cercles. Dans le cas où ces deux cercles sont coaxiaux, c'est aussi la figure obtenue par révolution d'une chaînette autour de l'axe commun de ces deux cercles. C'est, avec le plan, la seule surface minimale de révolution. Elle fut découverte par Leonhard Euler en 1744. Elle a pour équations paramétriques : où cosh représente la fonction cosinus hyperbolique.
Courbure moyenneEn mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. Elle est notée (ou encore Km, ou parfois H). C'est un nombre réel, dont le signe dépend du choix fait pour orienter la surface. S'il est relativement simple de définir le rayon de courbure d'une courbe plane, pour une surface les choses se compliquent. On définit alors un analogue comme suit : en un point, on définit un axe, le vecteur normal à la surface. On imagine ensuite un plan tournant sur cet axe.
Géométrie différentielle des surfacesEn mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.
Médaille FieldsLa médaille Fields est la plus prestigieuse récompense en mathématiques avec le prix Abel. Elle est considérée comme équivalente à un prix Nobel inexistant pour cette discipline. Elle est attribuée tous les quatre ans depuis 1936 au cours du congrès international des mathématiciens à quatre mathématiciens au plus, tous de moins de . Les lauréats reçoivent chacun une médaille et . John Charles Fields, mathématicien canadien, propose la création de cette médaille en 1923 lors d'une réunion internationale à Toronto.
Chaînettevignette|redresse|Courbe de la chaînette pour a = 2, . En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids). On lui donne parfois le nom de vélaire. vignette|Caténaire, formée d'un câble porteur et d'un câble linéaire inférieur, reliés par des pendules : la chaînette virtuelle se situe entre les deux câbles.
Associate familyIn differential geometry, the associate family (or Bonnet family) of a minimal surface is a one-parameter family of minimal surfaces which share the same Weierstrass data. That is, if the surface has the representation the family is described by where indicates the real part of a complex number. For θ = π/2 the surface is called the conjugate of the θ = 0 surface. The transformation can be viewed as locally rotating the principal curvature directions.
Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Courbure principaleEn géométrie différentielle des surfaces, les deux courbures principales d'une surface sont les courbures de cette surface selon deux directions perpendiculaires appelées directions principales. On montre que ce sont les courbures minimale et maximale rencontrées en faisant tourner le plan de coupe. Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Weingarten. Elles caractérisent la géométrie locale des surfaces à l'ordre 2.
Triply periodic minimal surfaceIn differential geometry, a triply periodic minimal surface (TPMS) is a minimal surface in R3 that is invariant under a rank-3 lattice of translations. These surfaces have the symmetries of a crystallographic group. Numerous examples are known with cubic, tetragonal, rhombohedral, and orthorhombic symmetries. Monoclinic and triclinic examples are certain to exist, but have proven hard to parametrise. TPMS are of relevance in natural science. TPMS have been observed as biological membranes, as block copolymers, equipotential surfaces in crystals etc.
Schwarz minimal surfaceIn differential geometry, the Schwarz minimal surfaces are periodic minimal surfaces originally described by Hermann Schwarz. In the 1880s Schwarz and his student E. R. Neovius described periodic minimal surfaces. They were later named by Alan Schoen in his seminal report that described the gyroid and other triply periodic minimal surfaces. The surfaces were generated using symmetry arguments: given a solution to Plateau's problem for a polygon, reflections of the surface across the boundary lines also produce valid minimal surfaces that can be continuously joined to the original solution.
Gyroïdedroite|vignette| Une surface minimale gyroïde, colorée pour montrer la courbure gaussienne en chaque point droite|vignette| Modèle 3D d'une cellule unitaire gyroïde Un gyroïde est une surface minimale triple périodique infiniment connectée découverte en 1970 par . Le gyroïde est l'unique membre intégré non trivial de la famille associée des surfaces de Schwarz P et D. Son angle d'association par rapport à la surface D est d'environ 38,01°. Le gyroïde est similaire au lidinoïde.
Application harmoniqueEn géométrie différentielle, une application régulière définie d'une variété riemannienne dans une autre est dite harmonique lorsqu'elle est solution d'une certaine équation aux dérivées partielles généralisant l'équation de Laplace. L'équation des applications harmoniques est en général introduite pour résoudre un problème variationnel ; il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange associée à la recherche des points critiques de l'énergie de Dirichlet des applications entre les deux variétés.
Surface d'EnneperUne surface d'Enneper est une surface minimale, paramétrisée en 1863 par le mathématicien allemand Alfred Enneper. On peut la décrire par un paramétrage cartésien : Cette surface représente un film de savon « fantôme », c’est-à-dire un équilibre instable de l’énergie potentielle. On peut imaginer une surface d'Enneper comme s'appuyant sur un contour comme celui tracé sur une balle de tennis. Sur ce contour, deux films de savon réels peuvent s'accrocher : un pour chaque moitié de la surface de la balle de tennis.
HélicoïdeUn hélicoïde est une surface s'appuyant sur une hélice et sur un axe. Elle fut découverte par Jean-Baptiste Marie Meusnier de La Place en 1776. C'est, avec le plan, la seule surface minimale réglée (c'est-à-dire pouvant être obtenue par déplacement d'une droite dans l'espace). Paramétrage : C'est par ailleurs la seule famille de solutions de la forme à l'équation locale d'Euler-Lagrange qui caractérise les surfaces minimales. On a longtemps cru que la caténoïde, l’hélicoïde et le plan étaient les seules surfaces minimales sans intersections.
3-variétéEn mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes). Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures.
Surface régléeEn géométrie, une surface réglée est une surface par chaque point de laquelle passe une droite, appelée génératrice, contenue dans la surface. On peut décrire une surface réglée S en la considérant comme la réunion d'une famille de droites D(u) dépendant d'un paramètre u parcourant une partie I de l'ensemble des réels. Il suffit pour cela de se donner pour chaque u dans I un point P(u) et un vecteur directeur de D(u). On obtient alors une représentation paramétrique de la surface S : L'arc paramétré par est appelé une courbe directrice de S.
Surfaces de ScherkIn mathematics, a Scherk surface (named after Heinrich Scherk) is an example of a minimal surface. Scherk described two complete embedded minimal surfaces in 1834; his first surface is a doubly periodic surface, his second surface is singly periodic. They were the third non-trivial examples of minimal surfaces (the first two were the catenoid and helicoid). The two surfaces are conjugates of each other. Scherk surfaces arise in the study of certain limiting minimal surface problems and in the study of harmonic diffeomorphisms of hyperbolic space.
