Limite d'une suiteEn mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ». Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (induite par la valeur absolue dans R, par le module dans C, par la norme dans un espace vectoriel normé) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie.
Karl WeierstrassKarl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appelé Karl Weierstrass, orthographié Weierstraß en allemand, né le à Ostenfelde (Province de Westphalie), mort le à Berlin, est un mathématicien allemand, lauréat de la médaille Copley en 1895. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass naît au sein d'une famille catholique de Westphalie. Il est le premier enfant de Theodora Vonderforst et Wilhelm Weierstrass, inspecteur des impôts, un homme cultivé, qui a des connaissances en chimie et en physique et parle le français à la perfection.
Limite (mathématiques)En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d’un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition. Si une telle limite existe dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est convergente (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions périodiques non constantes (telle la fonction sinus en +∞).
Théorème des valeurs intermédiairesvignette|Illustration du théorème des valeurs intermédiaires : si f est une fonction continue sur l'intervalle [a ; b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) au moins une fois. Ici la valeur s est prise trois fois. En mathématiques, le théorème des valeurs intermédiaires (abrégé en TVI), parfois appelé théorème de Bolzano, est un résultat important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.
Infinithumb|∞ : le symbole infini. Le mot « infini » (-e, -s) est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille. Il vient du latin infīnītus, dérivé de fīnītus « limité » (avec in-, préfixe négatif), issu lui-même du verbe fīnĭo, fīnīre (« délimiter », mais aussi : « préciser », « déterminer », et intransitivement « finir »), et du nom fīnis (souvent au pluriel, fīnes : « bornes, limites d'un champ », « frontières d'un pays ») ; il signifie donc, littéralement « qui est sans borne », mais aussi « indéterminé » et « indéfini ».
Augustin Louis CauchyAugustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le et mort à Sceaux le , est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytechnique. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres charitables, dont l’Œuvre des Écoles d’Orient. Royaliste légitimiste, il s’exile volontairement lors de l'avènement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Ses positions politiques et religieuses lui valurent nombre d’oppositions.
Paradoxes de ZénonLes paradoxes de Zénon forment un ensemble de paradoxes imaginés par Zénon d'Élée pour soutenir la doctrine de Parménide, selon laquelle toute évidence des sens est fallacieuse, et le mouvement est impossible. Plusieurs des huit paradoxes de Zénon ont traversé le temps (rapportés par Aristote dans la Physique et par Simplicius dans un commentaire à ce sujet). Certains ont été considérés, même dans des périodes antiques, comme faciles à réfuter.
Removable singularityIn complex analysis, a removable singularity of a holomorphic function is a point at which the function is undefined, but it is possible to redefine the function at that point in such a way that the resulting function is regular in a neighbourhood of that point. For instance, the (unnormalized) sinc function, as defined by has a singularity at z = 0. This singularity can be removed by defining which is the limit of sinc as z tends to 0. The resulting function is holomorphic.
General topologyIn mathematics, general topology (or point set topology) is the branch of topology that deals with the basic set-theoretic definitions and constructions used in topology. It is the foundation of most other branches of topology, including differential topology, geometric topology, and algebraic topology. The fundamental concepts in point-set topology are continuity, compactness, and connectedness: Continuous functions, intuitively, take nearby points to nearby points.
Point d'accumulation (mathématiques)En mathématiques, un point d'accumulation d'une partie A d'un espace topologique E est un point x de E qui peut être « approché » par des points de A au sens où chaque voisinage de x – pour la topologie de E – contient un point de A distinct de x. Un tel point x n'est pas nécessairement un point de A. Ce concept généralise la notion de limite, et permet de définir des notions comme les espaces fermés et l'adhérence. De fait, pour qu'un espace soit fermé, il faut et il suffit qu'il contienne tous ses points d'accumulation.
Limite supérieure et limite inférieurevignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu. En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Suite généraliséeEn mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels. Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A. Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout , .
Droite réelle achevéeEn mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], R ∪ {–∞, +∞} ou (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement "complémentaire" en théorie des ensembles, ou "adhérence" en topologie). Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration.
Pente (mathématiques)En mathématiques, la pente d'une droite, son coefficient angulaire ou encore son coefficient directeur, est un nombre qui permet de décrire à la fois le sens de l'inclinaison de la droite (si la droite monte quand on la parcourt de la gauche vers la droite, le nombre est positif, si la droite descend, le nombre est négatif) et la force de celle-ci (plus le nombre est grand en valeur absolue, plus la pente est forte). En géométrie cartésienne, le coefficient directeur d'une droite, non parallèle au deuxième axe de coordonnées, désigne le coefficient de l'équation de la droite, .
Cours d'Analysevignette| Page de titre Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique ; Ière partie. Analyse algébrique est un manuel fondateur du calcul infinitésimal publié par Augustin-Louis Cauchy en 1821. Il reprend une partie du cours d'analyse de année dispensé à l'Ecole polytechnique, et a participé à la réputation du mathématicien et de l'école. À la page 1 de l'Introduction, Cauchy écrit : Cauchy poursuit : À la page 4, Cauchy discute d'abord des grandeurs variables, puis introduit la notion de limite dans les termes suivants : Plus bas sur la même page, Cauchy définit un infinitésimal comme suit : Cauchy ajoute : La notation est présentée à la page 13.
Analyse (mathématiques)L'analyse (du grec , délier, examiner en détail, résoudre) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes.
Théorème de convergence monotoneEn mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un résultat de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il permet de démontrer le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que pour une suite croissante de fonctions mesurables positives on a toujours la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de la limite simple. Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles et .
Infiniment petitLes infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot vient de infinitesimus (latin du ), ce qui signifiait à l'origine l'élément dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x. Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible.
Division par zéroLa division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant zéro comme diviseur. Ainsi, une division par zéro s'écrirait x/0, où x serait le dividende (ou numérateur). Dans les définitions usuelles de la multiplication, cette opération n'a pas de sens : elle contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde loi de composition d'un corps, car zéro (l'élément neutre de l'addition) est un élément absorbant pour la multiplication. La division par zéro donne l'infini.
Projectively extended real lineIn real analysis, the projectively extended real line (also called the one-point compactification of the real line), is the extension of the set of the real numbers, , by a point denoted ∞. It is thus the set with the standard arithmetic operations extended where possible, and is sometimes denoted by or The added point is called the point at infinity, because it is considered as a neighbour of both ends of the real line. More precisely, the point at infinity is the limit of every sequence of real numbers whose absolute values are increasing and unbounded.
