Dessin d'enfant (mathématiques)En mathématiques, les dessins d'enfants, tels qu'ils ont été introduits par Alexandre Grothendieck dans son Esquisse d'un programme, sont des objets combinatoires permettant d'énumérer de manière simple et élégante les classes d'isomorphisme de revêtements étales de la droite projective privée de trois points. Le groupe de Galois absolu opérant de manière naturelle sur de tels revêtements, le but de la théorie des dessins d'enfants est de traduire cette action en termes combinatoires.
Triangle groupIn mathematics, a triangle group is a group that can be realized geometrically by sequences of reflections across the sides of a triangle. The triangle can be an ordinary Euclidean triangle, a triangle on the sphere, or a hyperbolic triangle. Each triangle group is the symmetry group of a tiling of the Euclidean plane, the sphere, or the hyperbolic plane by congruent triangles called Möbius triangles, each one a fundamental domain for the action. Let l, m, n be integers greater than or equal to 2.
Point groups in three dimensionsIn geometry, a point group in three dimensions is an isometry group in three dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a sphere. It is a subgroup of the orthogonal group O(3), the group of all isometries that leave the origin fixed, or correspondingly, the group of orthogonal matrices. O(3) itself is a subgroup of the Euclidean group E(3) of all isometries. Symmetry groups of geometric objects are isometry groups. Accordingly, analysis of isometry groups is analysis of possible symmetries.
Icosidodécaèdre tronquéthumb|Patron (géométrie) L'icosidodécaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il possède 30 faces carrées régulières, 20 faces hexagonales régulières, 12 faces décagonales régulières, 120 sommets et 180 arêtes. Puisque chacune des faces possède un centre de symétrie, le grand rhombicosidodécaèdre est un zonoèdre (à quinze générateurs). Son dual est l'hexaki-icosaèdre, solide de Catalan. D'autres noms incluent : grand rhombicosidodécaèdre ; icosidodécaèdre rhombitronqué ; icosidodécaèdre .
Dodécaèdre adouciLe dodécaèdre adouci ou icosidodécaèdre adouci est un solide d'Archimède. Le dodécaèdre possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres sont des triangles équilatéraux. Il possède aussi 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont les images dans un miroir (ou énantiomorphes) l'une de l'autre. Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.
Icosaèdre tronquéLicosaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il comprend 12 faces pentagonales régulières, 20 faces hexagonales régulières, 60 sommets et 90 arêtes. Ce polyèdre peut être construit à partir d'un icosaèdre (solide formé de 20 faces triangulaires régulières) avec une troncature des 12 sommets telle qu'un tiers de chaque arête est enlevé à chaque extrémité. Ceci crée 12 nouvelles faces pentagonales, et remplace les 20 faces triangulaires d'origine par des hexagones réguliers.
Coxeter notationIn geometry, Coxeter notation (also Coxeter symbol) is a system of classifying symmetry groups, describing the angles between fundamental reflections of a Coxeter group in a bracketed notation expressing the structure of a Coxeter-Dynkin diagram, with modifiers to indicate certain subgroups. The notation is named after H. S. M. Coxeter, and has been more comprehensively defined by Norman Johnson. For Coxeter groups, defined by pure reflections, there is a direct correspondence between the bracket notation and Coxeter-Dynkin diagram.
PentakidodécaèdreUn pentakidodécaèdre est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède, ou un solide de Catalan. Son dual est l'icosaèdre tronqué. Il peut être vu comme un dodécaèdre avec une pyramide pentagonale couvrant chaque face. Cette interprétation est exprimée dans le nom. 200pxLe pentakidodécaèdre dans un modèle de fullerène : chaque segment de surface représente un atome de carbone. Le Spaceship Earth à l'Epcot de Walt Disney World Resort est basé sur cette forme.
Regular icosahedronIn geometry, a regular icosahedron (ˌaɪkɒsəˈhiːdrən,-kə-,-koʊ- or aɪˌkɒsəˈhiːdrən) is a convex polyhedron with 20 faces, 30 edges and 12 vertices. It is one of the five Platonic solids, and the one with the most faces. It has five equilateral triangular faces meeting at each vertex. It is represented by its Schläfli symbol {3,5}, or sometimes by its vertex figure as 3.3.3.3.3 or 35. It is the dual of the regular dodecahedron, which is represented by {5,3}, having three pentagonal faces around each vertex.
Polyèdre sphériquevignette| Icosaèdre tronqué et ballon de football. Un polyèdre sphérique est constitué par un certain nombre d'arcs de grand cercle d'une même sphère (les arêtes) dont les extrémités (les sommets) sont communes à plusieurs arêtes ; les portions de sphère délimitées par les arêtes sont les faces. Autrement dit, un polyèdre sphérique est un pavage de la sphère par des polygones sphériques. Par abus de langage on appelle aussi polyèdre sphérique un polyèdre réalisant une approximation de la sphère, comme le dodécaèdre régulier, l'icosaèdre régulier ou l'icosaèdre tronqué.
Diagramme de Coxeter-DynkinEn géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroirs (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique. En tant que graphe lui-même, le diagramme représente les groupes de Coxeter, chaque nœud du graphe représente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe représente l'ordre de l'angle diédral entre deux miroirs (sur une arête du domaine). En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nœuds pour les miroirs actifs représentant un polytope précis.
Groupe modulaireEn mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, Z), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, Z) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, Z) dans le groupe de Lie On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de Γ(1) par homographies sur le demi-plan de Poincaré H des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2, C) sur la droite projective complexe P(C) = C ∪ {∞} : la matrice agit sur P(C) par la transformation de Möbius qui en envoie z sur .
IcosaèdreEn géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension 3, de la famille des polyèdres, contenant exactement vingt faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, signifie « vingt ». Il existe de nombreux polyèdres à vingt faces tels l'icosaèdre régulier convexe (appelé plus simplement icosaèdre si le contexte fait référence aux solides de Platon), l'icosaèdre rhombique, le pseudo-icosaèdre, le grand icosaèdre ou plusieurs solides de Johnson.
IcosidodécaèdreLe solide d'Archimède de vingt faces triangulaires et douze faces pentagonales s’appelle un icosidodécaèdre. Le mot “icosidodécaèdre” commence par “icos”, qui signifie “vingt”, soit le nombre de faces du solide de Platon de douze sommets, qui est le dual du “dodécaèdre” de Platon, dont les douze faces sont pentagonales. Cette image‐ci montre l’icosidodécaèdre de face et de dessus, avec deux faces triangulaires horizontales. De dessus le contour est un dodécagone, qui entoure dix triangles et six pentagones.
Réflexion (mathématiques)En mathématiques, une réflexion ou symétrie axiale du plan euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à une droite (droite vectorielle s'il s'agit d'un plan vectoriel euclidien). Elle constitue alors une symétrie axiale orthogonale. Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c'est-à-dire à un sous-espace de codimension 1. En dimension 3, il s'agit donc d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan.
Quartique de Kleinthumb|La quartique de Klein est le quotient d'un pavage uniforme triangulaire d'ordre 7. En géométrie hyperbolique, la quartique de Klein, du nom du mathématicien allemand Felix Klein, est une surface de Riemann compacte de genre 3. Elle a le groupe d'automorphismes d'ordre le plus élevé possible parmi les surfaces de Riemann de genre 3, à savoir le groupe simple d'ordre 168. La quartique de Klein est en conséquence la de genre le plus bas possible. Surface de Bolza Surface de Macbeath Théorème de Stark-Hee
Nombre d'orvignette|upright=1.2|La proportion définie par a et b est dite d'« extrême et moyenne raison » lorsque a est à b ce que est à a, soit : lorsque Le rapport a/b est alors égal au nombre d'or (phi). Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : avec Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ».
Graphe des cyclesEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le graphe des cycles d'un groupe représente l'ensemble des cycles de ce groupe, ce qui est particulièrement utile pour visualiser la structure des petits groupes finis. Pour les groupes ayant moins de 16 éléments, le graphe des cycles détermine le groupe à isomorphisme près. Un cycle est l'ensemble des puissances d'un élément donné du groupe ; a, la n-ième puissance de l'élément a, est définie comme le produit de a par lui-même n fois (avec les conventions a = a et a = e, l'élément neutre du groupe).
Courbe modulaireEn théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.
Groupe spécial linéaireEn mathématiques, le groupe spécial linéaire de degré n sur un corps commutatif K est le groupe SL(K) des matrices carrées d'ordre n sur K dont le déterminant est égal à 1. Plus intrinsèquement, le groupe spécial linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie sur K est le groupe SL(E) des éléments du groupe général linéaire GL(E) dont le déterminant est égal à 1. Cette définition admet différentes généralisations : une, immédiate, sur un anneau commutatif et deux variantes sur des corps non nécessairement commutatifs, dont l'une sur des corps qui sont de dimension finie sur leur centre.
