New FoundationsEn logique mathématique, New Foundations (NF) est une théorie des ensembles axiomatique introduite par Willard Van Orman Quine en 1937, dans un article intitulé « New Foundations for Mathematical Logic », et qui a connu un certain nombre de variantes. Pour éviter le paradoxe de Russell, le principe de compréhension est restreint aux formules stratifiées, une restriction inspirée de la théorie des types, mais où la notion de type est implicite.
Relation (mathematics)In mathematics, a binary relation on a set may, or may not, hold between two given set members. For example, "is less than" is a relation on the set of natural numbers; it holds e.g. between 1 and 3 (denoted as 1
Intersection (mathématiques)Dans la théorie des ensembles, l'intersection est une opération ensembliste qui porte le même nom que son résultat, à savoir l'ensemble des éléments appartenant à la fois aux deux opérandes : l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble, noté , dit « A inter B », qui contient tous les éléments appartenant à la fois à A et à B, et seulement ceux-là. A et B sont disjoints si et seulement si est l'ensemble vide ∅. A est inclus dans B si et seulement si .
Produit cartésienvignette|Illustration d'un produit cartésien A x B où A={x,y,z} et B={1,2,3}. Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes. En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé également ensemble-produit, est l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de produit cartésien fini, qui est un ensemble de n-uplets dont les composantes appartiennent à n ensembles.
Cardinal mesurableEn mathématiques, un cardinal mesurable est un cardinal sur lequel existe une mesure définie pour tout sous-ensemble. Cette propriété fait qu'un tel cardinal est un grand cardinal. Un cardinal mesurable est un cardinal non dénombrable κ tel qu'il existe une mesure μ non triviale, κ-additive, à valeurs dans , définie sur tous les sous-ensembles de κ ; μ est donc une application de l'ensemble des parties de κ vers telle que : Pour toute famille (avec α
Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkelvignette|L'appartenance En mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée en ZF, est une axiomatisation en logique du premier ordre de la théorie des ensembles telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du par Georg Cantor. L'axiomatisation a été élaborée au début du par plusieurs mathématiciens dont Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel mais aussi Thoralf Skolem.
Algèbre des parties d'un ensembleEn théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'intersection, de réunion, et de passage au complémentaire, possède une structure d'algèbre de Boole. D'autres opérations s'en déduisent, comme la différence ensembliste et la différence symétrique. L'algèbre des parties d'un ensemble étudie l'arithmétique de ces opérations (voir l'article « Opération ensembliste » pour des opérations qui ne laissent pas stable l'ensemble des parties d'un ensemble).
Ensemble transitifEn mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) : ∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X) ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) : ∪X ⊂ X.
Grand cardinalEn mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand cardinal est un nombre cardinal transfini satisfaisant une propriété qui le distingue des ensembles constructibles avec l'axiomatique usuelle (ZFC) tels que א, א, etc., et le rend nécessairement plus grand que tous ceux-ci. L'existence d'un grand cardinal est donc soumise à l'acceptation de nouveaux axiomes. Un axiome de grand cardinal est un axiome affirmant qu'il existe un cardinal (ou parfois une famille de cardinaux) ayant une propriété de grand cardinal donnée.
Univers constructibleEn mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté , est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples. Elle a été introduite en 1938 par Kurt Gödel dans son article sur . Il y montrait que cette classe est un de la théorie ZF et que l'axiome du choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans ce modèle. Ceci prouve que ces deux propositions sont cohérentes avec les axiomes de ZF, à condition que ZF soit déjà cohérente.
Axiome de fondationL'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie des ensembles. Introduit par Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem (1922) et John von Neumann (1925), il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs, même s'ils le considèrent souvent comme intuitivement vérifié. L'axiome de fondation fait ou non partie des axiomes de ZF (et ZFC) suivant les ouvrages. Dans la suite, on choisit de prendre ZF et ZFC sans axiome de fondation.
ForcingEn mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC. Combinée avec la technique des modèles de permutation de Fraenkel-Mostowski-Specker, elle a permis également d'établir l'indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF.
Inner modelIn set theory, a branch of mathematical logic, an inner model for a theory T is a substructure of a model M of a set theory that is both a model for T and contains all the ordinals of M. Let be the language of set theory. Let S be a particular set theory, for example the ZFC axioms and let T (possibly the same as S) also be a theory in . If M is a model for S, and N is an -structure such that N is a substructure of M, i.e. the interpretation of in N is N is a model for T the domain of N is a transitive class of M N contains all ordinals of M then we say that N is an inner model of T (in M).
Universal setIn set theory, a universal set is a set which contains all objects, including itself. In set theory as usually formulated, it can be proven in multiple ways that a universal set does not exist. However, some non-standard variants of set theory include a universal set. Many set theories do not allow for the existence of a universal set. There are several different arguments for its non-existence, based on different choices of axioms for set theory. In Zermelo–Fraenkel set theory, the axiom of regularity and axiom of pairing prevent any set from containing itself.
Reflection principleIn set theory, a branch of mathematics, a reflection principle says that it is possible to find sets that, with respect to any given property, resemble the class of all sets. There are several different forms of the reflection principle depending on exactly what is meant by "resemble". Weak forms of the reflection principle are theorems of ZF set theory due to , while stronger forms can be new and very powerful axioms for set theory. The name "reflection principle" comes from the fact that properties of the universe of all sets are "reflected" down to a smaller set.
Relation inverseIn mathematics, the converse relation, or transpose, of a binary relation is the relation that occurs when the order of the elements is switched in the relation. For example, the converse of the relation 'child of' is the relation 'parent of'. In formal terms, if and are sets and is a relation from to then is the relation defined so that if and only if In set-builder notation, The notation is analogous with that for an inverse function. Although many functions do not have an inverse, every relation does have a unique converse.
Univers de von NeumannEn théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.
Complémentaire (théorie des ensembles)En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie d'un ensemble est constitué de tous les éléments de n'appartenant pas à . Le complémentaire de est . En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de dans , on note . Si est différent de l'ensemble vide et de , alors et forment une partition de l'ensemble . Lorsque est un ensemble fini, la somme des cardinaux de et est égale au cardinal de : D'où on déduit : Exemple Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents.
Diagramme de Vennvignette|Diagramme de Venn montrant quels glyphes en majuscules sont partagés par l'alphabet grec, latin et russe. Un diagramme de Venn (également appelé diagramme logique) est un diagramme qui montre toutes les relations logiques possibles dans une collection finie de différents ensembles. Les diagrammes de Venn ont été conçus autour de 1880 par John Venn. Ils sont utilisés pour enseigner la théorie des ensembles élémentaires, ainsi que pour illustrer des relations simples en probabilité, logique, statistiques, linguistique et en informatique.
Hereditarily finite setIn mathematics and set theory, hereditarily finite sets are defined as finite sets whose elements are all hereditarily finite sets. In other words, the set itself is finite, and all of its elements are finite sets, recursively all the way down to the empty set. A recursive definition of well-founded hereditarily finite sets is as follows: Base case: The empty set is a hereditarily finite set. Recursion rule: If a1,...,ak are hereditarily finite, then so is {a1,...,ak}.
