Problème de l'arrêtvignette|L'animation illustre une machine impossible : il n'y a pas de machine qui lit n'importe quel code source d'un programme et dit si son exécution termine ou non. En théorie de la calculabilité, le problème de l'arrêt est le problème de décision qui détermine, à partir d'une description d'un programme informatique, et d'une entrée, si le programme s'arrête avec cette entrée ou non.
Machine de Turing non déterministeUne machine de Turing non déterministe est similaire à une machine de Turing habituelle, qui, elle, est déterministe, mais s'en différencie dans le fait qu'étant non déterministe elle peut avoir plusieurs transitions activables, pour un état donné. Alors que, connaissant le caractère lu sur le ruban et l'état courant, une machine de Turing déterministe dispose d'au plus une transition possible, une machine de Turing non déterministe peut en avoir plusieurs.
Oracle (machine de Turing)vignette|upright=2|Une machine de Turing avec oracle peut faire appel à une boîte noire (oracle). En théorie de la complexité ou de la calculabilité, les machines de Turing avec oracle sont une variante des machines de Turing disposant d'une boîte noire, un oracle, capable de résoudre un problème de décision en une seule opération élémentaire. En particulier, l'oracle peut résoudre en temps constant un problème indécidable comme le problème de l'arrêt.
Automate à pileUn automate à pile est une machine abstraite utilisée en informatique théorique et, plus précisément, en théorie des automates. Un automate à pile est une généralisation des automates finis : il dispose en plus d'une mémoire infinie organisée en pile (last-in/first-out ou LIFO). Un automate à pile prend en entrée un mot et réalise une série de transitions. Il effectue pour chaque lettre du mot une transition, dont le choix dépend de la lettre, de l'état de l'automate et du sommet de la pile ; il peut aussi modifier le contenu de la pile.
Theory of computationIn theoretical computer science and mathematics, the theory of computation is the branch that deals with what problems can be solved on a model of computation, using an algorithm, how efficiently they can be solved or to what degree (e.g., approximate solutions versus precise ones). The field is divided into three major branches: automata theory and formal languages, computability theory, and computational complexity theory, which are linked by the question: "What are the fundamental capabilities and limitations of computers?".
Problème de la décisionEn logique mathématique, on appelle problème de la décision ou, sous son nom d'origine en allemand, Entscheidungsproblem, le fait de déterminer de façon mécanique (par un algorithme) si un énoncé est un théorème de la logique égalitaire du premier ordre, c’est-à-dire s'il se dérive dans un système de déduction sans autres axiomes que ceux de l'égalité (exemples : système à la Hilbert, calcul des séquents, déduction naturelle).
Fonction récursiveEn informatique et en mathématiques, le terme fonction récursive ou fonction calculable désigne la classe de fonctions dont les valeurs peuvent être calculées à partir de leurs paramètres par un processus mécanique fini. En fait, cela fait référence à deux concepts liés, mais distincts. En théorie de la calculabilité, la classe des fonctions récursives est une classe plus générale que celle des fonctions récursives primitives, mais plus restreinte que celle des fonctions semi-calculables (ou partielles récursives).
Théorie de la calculabilitéLa théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est un domaine de la logique mathématique et de l'informatique théorique. La calculabilité (parfois appelée « computationnalité », de l'anglais computability) cherche d'une part à identifier la classe des fonctions qui peuvent être calculées à l'aide d'un algorithme et d'autre part à appliquer ces concepts à des questions fondamentales des mathématiques. Une bonne appréhension de ce qui est calculable et de ce qui ne l'est pas permet de voir les limites des problèmes que peuvent résoudre les ordinateurs.
Théorème de RiceEn informatique théorique, plus précisément en théorie de la calculabilité, le théorème de Rice énonce que toute propriété sémantique non triviale d'un programme est indécidable. Le théorème de Rice généralise l'indécidabilité du problème de l'arrêt. Le théorème est classique et fait l'objet d'exercices dans certains ouvrages de théorie de la calculabilité. Il a une certaine portée philosophique vis-à-vis de la calculabilité et est dû au logicien Henry Gordon Rice.
Turing-completEn informatique et en logique, un système formel est dit complet au sens de Turing ou Turing-complet (par calque de l’anglais Turing-complete) s’il possède un pouvoir expressif au moins équivalent à celui des machines de Turing. Dans un tel système, il est donc possible de programmer n'importe quelle machine de Turing. Cette notion est rendue pertinente par la thèse de Church, qui postule l’existence d’une notion naturelle de calculabilité.
Automate finithumb|upright=2|Fig. 1 : Une hiérarchie d'automates. Un automate fini ou automate avec un nombre fini d'états (en anglais finite-state automaton ou finite state machine ou FSM) est un modèle mathématique de calcul, utilisé dans de nombreuses circonstances, allant de la conception de programmes informatiques et de circuits en logique séquentielle aux applications dans des protocoles de communication, en passant par le contrôle des processus, la linguistique et même la biologie.
OrdinateurUn ordinateur est un système de traitement de l'information programmable tel que défini par Alan Turing et qui fonctionne par la lecture séquentielle d'un ensemble d'instructions, organisées en programmes, qui lui font exécuter des opérations logiques et arithmétiques. Sa structure physique actuelle fait que toutes les opérations reposent sur la logique binaire et sur des nombres formés à partir de chiffres binaires.
Machine de Turing universellevignette|upright=1.5|Une machine de Turing quelconque M réalise un calcul à partir d'une entrée écrite sur son ruban. Une machine de Turing universelle U simule le calcul de M sur l'entrée de M à partir d'une description de M et de l'entrée de M écrits sur le ruban de U. En informatique, plus précisément en informatique théorique, une machine de Turing universelle est une machine de Turing qui peut simuler n'importe quelle machine de Turing sur n'importe quelle entrée.
Alan Turingvignette|Alan Turing vers 1938. Alan Mathison Turing, né le à Londres et mort le à Wilmslow, est un mathématicien et cryptologue britannique, auteur de travaux qui fondent scientifiquement l'informatique. Il est aussi un des pionniers de l'Intelligence artificielle. Pour résoudre le problème fondamental de la décidabilité en arithmétique, il présente en 1936 une expérience de pensée que l'on nommera ensuite machine de Turing et des concepts de programme et de programmation, qui prendront tout leur sens avec la diffusion des ordinateurs, dans la seconde moitié du .
Lambda-calculLe lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. On y manipule des expressions appelées λ-expressions, où la lettre grecque λ est utilisée pour lier une variable. Par exemple, si M est une λ-expression, λx.M est aussi une λ-expression et représente la fonction qui à x associe M. Le λ-calcul a été le premier formalisme pour définir et caractériser les fonctions récursives : il a donc une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel.
Computable functionComputable functions are the basic objects of study in computability theory. Computable functions are the formalized analogue of the intuitive notion of algorithms, in the sense that a function is computable if there exists an algorithm that can do the job of the function, i.e. given an input of the function domain it can return the corresponding output. Computable functions are used to discuss computability without referring to any concrete model of computation such as Turing machines or register machines.
Model of computationIn computer science, and more specifically in computability theory and computational complexity theory, a model of computation is a model which describes how an output of a mathematical function is computed given an input. A model describes how units of computations, memories, and communications are organized. The computational complexity of an algorithm can be measured given a model of computation. Using a model allows studying the performance of algorithms independently of the variations that are specific to particular implementations and specific technology.
Fonction récursive primitiveEn théorie de la calculabilité, une fonction récursive primitive est une fonction construite à partir de la fonction nulle, de la fonction successeur, des fonctions projections et des schémas de récursion primitive (ou bornée) et de composition. Ces fonctions constituent un sous-ensemble strict des fonctions récursives. Elles ont été initialement analysées par la mathématicienne Rózsa Péter. On s'intéresse aux fonctions définies sur l'ensemble des entiers naturels, ou sur les ensembles des -uplets d'entiers naturels, et à valeurs dans .
Théorèmes d'incomplétude de GödelLes théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.
Fonction d'AckermannDans la théorie de la récursivité, la fonction d'Ackermann (aussi appelée fonction d'Ackermann-Péter) est un exemple simple de fonction récursive non récursive primitive, trouvée en 1926 par Wilhelm Ackermann. Elle est souvent présentée sous la forme qu'en a proposée la mathématicienne Rózsa Péter, comme une fonction à deux paramètres entiers naturels comme arguments et qui retourne un entier naturel comme valeur, noté en général A(m, n).
