Cardinal mesurableEn mathématiques, un cardinal mesurable est un cardinal sur lequel existe une mesure définie pour tout sous-ensemble. Cette propriété fait qu'un tel cardinal est un grand cardinal. Un cardinal mesurable est un cardinal non dénombrable κ tel qu'il existe une mesure μ non triviale, κ-additive, à valeurs dans , définie sur tous les sous-ensembles de κ ; μ est donc une application de l'ensemble des parties de κ vers telle que : Pour toute famille (avec α
Axiome de constructibilitéL'axiome de constructibilité est un des axiomes possibles de la théorie des ensembles affirmant que tout ensemble est constructible. Cet axiome est généralement résumé par = , où représente la classe des ensembles et est l’univers constructible, la classe des ensembles récursivement définissables via un langage approprié.
Cardinal inaccessibleEn mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un cardinal inaccessible est un cardinal ne pouvant être construit à partir de cardinaux plus petits à l'aide des axiomes de ZFC ; cette propriété fait qu'un cardinal inaccessible est un grand cardinal. Un cardinal infini א est : soit א0 si α = 0 ; soit limite (au sens faible) si α est un ordinal limite ; soit successeur de א si α = β + 1.
Inner modelIn set theory, a branch of mathematical logic, an inner model for a theory T is a substructure of a model M of a set theory that is both a model for T and contains all the ordinals of M. Let be the language of set theory. Let S be a particular set theory, for example the ZFC axioms and let T (possibly the same as S) also be a theory in . If M is a model for S, and N is an -structure such that N is a substructure of M, i.e. the interpretation of in N is N is a model for T the domain of N is a transitive class of M N contains all ordinals of M then we say that N is an inner model of T (in M).
Hereditarily finite setIn mathematics and set theory, hereditarily finite sets are defined as finite sets whose elements are all hereditarily finite sets. In other words, the set itself is finite, and all of its elements are finite sets, recursively all the way down to the empty set. A recursive definition of well-founded hereditarily finite sets is as follows: Base case: The empty set is a hereditarily finite set. Recursion rule: If a1,...,ak are hereditarily finite, then so is {a1,...,ak}.
Constructive set theoryAxiomatic constructive set theory is an approach to mathematical constructivism following the program of axiomatic set theory. The same first-order language with "" and "" of classical set theory is usually used, so this is not to be confused with a constructive types approach. On the other hand, some constructive theories are indeed motivated by their interpretability in type theories. In addition to rejecting the principle of excluded middle (), constructive set theories often require some logical quantifiers in their axioms to be set bounded, motivated by results tied to impredicativity.
Grand cardinalEn mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand cardinal est un nombre cardinal transfini satisfaisant une propriété qui le distingue des ensembles constructibles avec l'axiomatique usuelle (ZFC) tels que א, א, etc., et le rend nécessairement plus grand que tous ceux-ci. L'existence d'un grand cardinal est donc soumise à l'acceptation de nouveaux axiomes. Un axiome de grand cardinal est un axiome affirmant qu'il existe un cardinal (ou parfois une famille de cardinaux) ayant une propriété de grand cardinal donnée.
Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkelvignette|L'appartenance En mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée en ZF, est une axiomatisation en logique du premier ordre de la théorie des ensembles telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du par Georg Cantor. L'axiomatisation a été élaborée au début du par plusieurs mathématiciens dont Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel mais aussi Thoralf Skolem.
Univers (logique)En mathématiques, et en particulier en théorie des ensembles et en logique mathématique, un univers est un ensemble (ou parfois une classe propre) ayant comme éléments tous les objets qu'on souhaite considérer dans un contexte donné. Structure (mathématiques) Dans de nombreuses utilisations élémentaires de la théorie des ensembles, on se place en réalité dans un ensemble général U (appelé parfois univers de référence), et les seuls ensembles considérés sont les éléments et les sous-ensembles de U ; c'est ce point de vue qui a amené Cantor à développer sa théorie en partant de U = R, l'ensemble des nombres réels.
Ensemble transitifEn mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) : ∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X) ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) : ∪X ⊂ X.
Cardinal régulierEn théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à . Une autre définition possible équivalente est que est régulier si pour tout cardinal , toute fonction est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier.
ÉquipotenceEn mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux.
Cardinal limiteEn mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, un cardinal limite est un type particulier de nombre cardinal. Il en existe deux définitions, une "faible" et l'autre "forte", qu'il faut distinguer selon le contexte. Un nombre cardinal est un cardinal faiblement limite si ce n'est ni 0, ni un cardinal successeur. Ceci signifie qu'on ne peut pas "accéder" à par une opération de succession sur les cardinaux, c'est-à-dire que ne s'écrit pas sous la forme .
Univers de von NeumannEn théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.
Schéma d'axiomes de remplacementLe schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution, est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Il assure l'existence d'ensembles qui ne pouvaient être obtenus dans la théorie des ensembles de Ernst Zermelo, et offre ainsi un cadre axiomatique plus fidèle à la théorie des ensembles de Georg Cantor. En ajoutant à la théorie de Zermelo le schéma d'axiomes de remplacement, on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, notée ZFC ou ZF suivant que l'on comprend ou non l'axiome du choix.
Hyperarithmetical theoryIn recursion theory, hyperarithmetic theory is a generalization of Turing computability. It has close connections with definability in second-order arithmetic and with weak systems of set theory such as Kripke–Platek set theory. It is an important tool in effective descriptive set theory. The central focus of hyperarithmetic theory is the sets of natural numbers known as hyperarithmetic sets. There are three equivalent ways of defining this class of sets; the study of the relationships between these different definitions is one motivation for the study of hyperarithmetical theory.
Quantification (logique)vignette|Symboles mathématiques des deux quantificateurs logiques les plus courants.|236px En mathématiques, les expressions « pour tout » (ou « quel que soit ») et « il existe », utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats, sont appelées des quantifications. Les symboles qui les représentent en langage formel sont appelés des quantificateurs (ou autrefois des quanteurs). La quantification universelle (« pour tout ... » ou « quel que soit ... ») se dénote par le symbole ∀ (un A à l'envers).
Bounded quantifierIn the study of formal theories in mathematical logic, bounded quantifiers (a.k.a. restricted quantifiers) are often included in a formal language in addition to the standard quantifiers "∀" and "∃". Bounded quantifiers differ from "∀" and "∃" in that bounded quantifiers restrict the range of the quantified variable. The study of bounded quantifiers is motivated by the fact that determining whether a sentence with only bounded quantifiers is true is often not as difficult as determining whether an arbitrary sentence is true.
Équivalence élémentaireEn mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des modèles, on dit que deux structures pour un même langage formel sont élémentairement équivalentes quand elles satisfont les mêmes énoncés (formules closes) de la logique du premier ordre, dit autrement leurs théories (du premier ordre) sont les mêmes. L'équivalence élémentaire est une notion typiquement logique en ce qu'elle fait intervenir le langage pour définir une relation entre structures. Elle diffère de la notion algébrique d'isomorphisme.
Absoluteness (logic)In mathematical logic, a formula is said to be absolute to some class of structures (also called models), if it has the same truth value in each of the members of that class. One can also speak of absoluteness of a formula between two structures, if it is absolute to some class which contains both of them.. Theorems about absoluteness typically establish relationships between the absoluteness of formulas and their syntactic form. There are two weaker forms of partial absoluteness.
