Variété de SteinEn mathématiques, et plus précisément en théorie des variétés complexes en plusieurs variables, une variété de Stein est une sous-variété complexe de l'espace vectoriel de dimension complexe n. Ils ont été présentés par et nommés d'après Karl Stein. Un espace de Stein est similaire à une variété de Stein mais est autorisé à avoir des singularités. Les espaces de Stein sont les analogues des variétés affines ou des schémas affines en géométrie algébrique.
Géométrie complexeIn mathematics, complex geometry is the study of geometric structures and constructions arising out of, or described by, the complex numbers. In particular, complex geometry is concerned with the study of spaces such as complex manifolds and complex algebraic varieties, functions of several complex variables, and holomorphic constructions such as holomorphic vector bundles and coherent sheaves. Application of transcendental methods to algebraic geometry falls in this category, together with more geometric aspects of complex analysis.
GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Théorie des représentationsLa théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
Domaine d'holomorphieEn mathématiques et plus précisément en analyse complexe à plusieurs variables, on dit qu'un domaine (i.e. un ouvert connexe), est un domaine d'holomorphie s'il existe une fonction analytique dans et non prolongeable ailleurs. Dans le cas particulier des domaines plans, cette propriété est triviale. Mais ce n'est plus vrai dans le cas général comme l'explicite le théorème de Hartogs : il suffit par exemple de considérer dans lequel toute fonction analytique se prolonge nécessairement à l'espace tout entier.
Coherent sheaf cohomologyIn mathematics, especially in algebraic geometry and the theory of complex manifolds, coherent sheaf cohomology is a technique for producing functions with specified properties. Many geometric questions can be formulated as questions about the existence of sections of line bundles or of more general coherent sheaves; such sections can be viewed as generalized functions. Cohomology provides computable tools for producing sections, or explaining why they do not exist. It also provides invariants to distinguish one algebraic variety from another.
Function of a real variableIn mathematical analysis, and applications in geometry, applied mathematics, engineering, and natural sciences, a function of a real variable is a function whose domain is the real numbers , or a subset of that contains an interval of positive length. Most real functions that are considered and studied are differentiable in some interval. The most widely considered such functions are the real functions, which are the real-valued functions of a real variable, that is, the functions of a real variable whose codomain is the set of real numbers.
Lemme de HartogsEn mathématiques, le lemme de Hartogs est un résultat fondamental sur les fonctions de plusieurs variables complexes, énonçant que les concepts de singularité isolée et de singularité supprimable coïncident pour les fonctions analytiques avec n > 1 variables complexes. Ce résultat a été attribué à Friedrich Hartogs, mais il est aussi connu sous le nom de théorème d'Osgood. Plus précisément, sur Cn pour n ≥ 2, n'importe quelle fonction analytique F définie sur le complémentaire d'un ensemble compact K peut être étendue (de manière unique) à une fonction analytique sur Cn.
PseudoconvexityIn mathematics, more precisely in the theory of functions of several complex variables, a pseudoconvex set is a special type of open set in the n-dimensional complex space Cn. Pseudoconvex sets are important, as they allow for classification of domains of holomorphy. Let be a domain, that is, an open connected subset. One says that is pseudoconvex (or Hartogs pseudoconvex) if there exists a continuous plurisubharmonic function on such that the set is a relatively compact subset of for all real numbers In other words, a domain is pseudoconvex if has a continuous plurisubharmonic exhaustion function.
Henri Cartanvignette|Henri Cartan (à gauche) avec Peter Thullen à l'université de Fribourg en 1987, au anniversaire de Thullen Henri Cartan, né le à Nancy et mort le à Paris , est un mathématicien français. Il est le fils du mathématicien Élie Cartan et de Marie-Louise Bianconi. Il est couramment considéré comme l'un des mathématiciens français les plus influents de son époque. Il est connu pour ses travaux sur les fonctions de plusieurs variables complexes, la topologie (faisceaux, complexes d'Eilenberg-Mac Lane) et l'algèbre homologique.
Fonction de plusieurs variablesEn mathématiques et plus spécialement en analyse vectorielle, une fonction numérique à plusieurs variables réelles est une fonction dont l'ensemble de départ E est une partie du produit cartésien . L'ensemble d'arrivée F peut être ou . Le second cas peut se ramener au premier cas en considérant qu'il s'agit en réalité de p fonctions de dans appelées fonctions coordonnées. La fonction est donc une relation associant à chaque n-uplet x = (x, x, ...
BiholomorphismIn the mathematical theory of functions of one or more complex variables, and also in complex algebraic geometry, a biholomorphism or biholomorphic function is a bijective holomorphic function whose inverse is also holomorphic. Formally, a biholomorphic function is a function defined on an open subset U of the -dimensional complex space Cn with values in Cn which is holomorphic and one-to-one, such that its is an open set in Cn and the inverse is also holomorphic. More generally, U and V can be complex manifolds.
Algebraic geometry and analytic geometryIn mathematics, algebraic geometry and analytic geometry are two closely related subjects. While algebraic geometry studies algebraic varieties, analytic geometry deals with complex manifolds and the more general analytic spaces defined locally by the vanishing of analytic functions of several complex variables. The deep relation between these subjects has numerous applications in which algebraic techniques are applied to analytic spaces and analytic techniques to algebraic varieties.
Fonction méromorpheEn mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction méromorphe est une fonction holomorphe dans tout le plan complexe, sauf éventuellement sur un ensemble de points isolés dont chacun est un pôle pour la fonction. Cette terminologie s'explique par le fait qu'en grec ancien, meros (μέρος) signifie « partie » et holos (ὅλος) signifie « entier ». Le théorème de factorisation de Hadamard affirme que toute fonction méromorphe peut s'écrire comme le rapport de deux fonctions entières (dont celle du dénominateur n'est pas identiquement nulle) : les pôles de la fonction correspondent aux zéros du dénominateur.
Domain (mathematical analysis)In mathematical analysis, a domain or region is a non-empty connected open set in a topological space, in particular any non-empty connected open subset of the real coordinate space Rn or the complex coordinate space Cn. A connected open subset of coordinate space is frequently used for the domain of a function, but in general, functions may be defined on sets that are not topological spaces.
Plurisubharmonic functionIn mathematics, plurisubharmonic functions (sometimes abbreviated as psh, plsh, or plush functions) form an important class of functions used in complex analysis. On a Kähler manifold, plurisubharmonic functions form a subset of the subharmonic functions. However, unlike subharmonic functions (which are defined on a Riemannian manifold) plurisubharmonic functions can be defined in full generality on complex analytic spaces.
Fonction thêtaEn mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.
Cousin problemsIn mathematics, the Cousin problems are two questions in several complex variables, concerning the existence of meromorphic functions that are specified in terms of local data. They were introduced in special cases by Pierre Cousin in 1895. They are now posed, and solved, for any complex manifold M, in terms of conditions on M. For both problems, an open cover of M by sets Ui is given, along with a meromorphic function fi on each Ui. The first Cousin problem or additive Cousin problem assumes that each difference is a holomorphic function, where it is defined.
Complex projective spaceIn mathematics, complex projective space is the projective space with respect to the field of complex numbers. By analogy, whereas the points of a real projective space label the lines through the origin of a real Euclidean space, the points of a complex projective space label the complex lines through the origin of a complex Euclidean space (see below for an intuitive account). Formally, a complex projective space is the space of complex lines through the origin of an (n+1)-dimensional complex vector space.
Formule intégrale de Cauchyvignette|Illustration de la formule intégrale de Cauchy en analyse complexe La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.
