Polynôme cyclotomiqueEn mathématiques, plus précisément en algèbre commutative, le polynôme cyclotomique usuel associé à un entier naturel n est le polynôme unitaire dont les racines complexes sont les racines primitives n-ièmes de l'unité. Son degré vaut φ(n), où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler. Il est à coefficients entiers et irréductible sur Q.
Anneau quotientEn mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).
Élément algébriqueEn théorie des corps un élément d'une extension L d'un corps commutatif K est dit algébrique sur K quand il existe un polynôme non nul à coefficients dans K s'annulant sur cet élément. Un élément qui n'est pas algébrique sur K est dit transcendant sur K. Il s'agit d'une généralisation des notions de nombre algébrique et nombre transcendant : un nombre algébrique est un nombre réel ou complexe, un élément de l'extension C du corps Q des rationnels, qui est algébrique sur Q.
Polynôme irréductibleIn mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients.
Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Algèbre commutativevignette|Propriété universelle du produit tensoriel de deux anneaux commutatifs En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres. David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ».
Théorie des anneauxEn mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.
Unit (ring theory)In algebra, a unit or invertible element of a ring is an invertible element for the multiplication of the ring. That is, an element u of a ring R is a unit if there exists v in R such that where 1 is the multiplicative identity; the element v is unique for this property and is called the multiplicative inverse of u. The set of units of R forms a group R^× under multiplication, called the group of units or unit group of R. Other notations for the unit group are R∗, U(R), and E(R) (from the German term Einheit).
MultiensembleUn multiensemble (parfois appelé sac, de l'anglais bag utilisé comme synonyme de multiset) est une sorte d'ensemble dans lequel chaque élément peut apparaître plusieurs fois. C'est une généralisation de la notion d'ensemble : un ensemble ordinaire est un multiensemble dans lequel chaque élément apparaît au plus une seule fois ; ce qu'impose, pour les ensembles usuels, l'axiome d'extensionnalité. On nomme multiplicité d'un élément donné le nombre de fois où il apparaît.
Polynôme unitaireEn algèbre commutative, un polynôme unitaire, ou polynôme monique, est un polynôme non nul dont le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est égal à 1. Un polynôme P est donc unitaire si et seulement s'il s'écrit sous la forme Sur les polynômes unitaires à coefficients dans un anneau commutatif A donné, la relation divise est une relation d'ordre partiel. Si A est un corps, alors tout polynôme non nul est associé à un polynôme unitaire et un seul.
Variété algébrique affineEn géométrie algébrique, une variété affine est un modèle local pour les variétés algébriques, c'est-à-dire que celles-ci sont obtenues par recollement de variétés affines. Grossièrement, une variété affine est un ensemble algébrique affine X avec une structure algébrique supplémentaire qui est la donnée de l'anneau des fonctions régulières sur chaque partie ouverte de X. Ensemble algébrique Le point de vue le plus simple pour décrire une variété algébrique affine est l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients dans un corps commutatif K.
Algèbre d'un groupe finiEn mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la composition des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité.
Monôme (mathématiques)En mathématiques, le terme de monôme désigne une expression algébrique ne comportant qu'un seul terme (binômes : deux termes, trinômes : trois termes...). Construction de l'anneau des polynômes En algèbre, un monôme est un polynôme dont un seul coefficient est non nul. Autrement dit, c'est un polynôme particulier qui s'exprime sous la forme d'un produit d'indéterminées (notées X, Y...) affecté d'un coefficient. Exemples sont des monômes en une indéterminée. est un monôme de degré , en deux indéterminées.
Fonction rationnelleEn mathématiques, une fonction rationnelle est une fonction définie par une fraction rationnelle, c'est-à-dire une dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. En pratique, l'ensemble de définition est généralement (ensemble des réels) ou (ensemble des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynomiales et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction est définie pour tout x tel que Q(x) ≠ 0 par Une fonction qui n'est pas rationnelle est dite irrationnelle.
Module quotientEn mathématiques, un module quotient est le module obtenu en quotientant un module sur un anneau par un de ses sous-modules. Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M. Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+). Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules : M/M est le module trivial {0}.
Demi-anneauEn mathématiques, un demi-anneau, ou semi-anneau, est une structure algébrique qui a les propriétés suivantes : constitue un monoïde commutatif ; forme un monoïde ; est distributif par rapport à + ; 0 est absorbant pour le produit, autrement dit: pour tout . Ces propriétés sont proches de celles d'un anneau, la différence étant qu'il n'y a pas nécessairement d'inverses pour l’addition dans un demi-anneau. Un demi-anneau est commutatif quand son produit est commutatif ; il est idempotent quand son addition est idempotente.
Anneau commutatifUn anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Polynôme de LaurentUn polynôme de Laurent est une généralisation de la notion de polynôme où l'on autorise les puissances de l'indéterminée à être négatives. Introduits par le mathématicien Pierre Alphonse Laurent en 1843 pour l'étude des fonctions, afin de généraliser la série de Taylor au moyen de la série de Laurent, ils apparaissent depuis dans de nombreuses branches des mathématiques et de la physique théorique, en particulier en algèbre, dans l'étude des algèbres de Lie et en relation avec la théorie de Fourier.
Localisation (mathématiques)En algèbre, la localisation est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation. La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau.
Module libreEn algèbre, un module libre est un module M qui possède une base B, c'est-à-dire un sous-ensemble de M tel que tout élément de M s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire (finie) d'éléments de B. Une base de M est une partie B de M qui est à la fois : génératrice pour M, c'est-à-dire que tout élément de M est combinaison linéaire d'éléments de B ; libre, c'est-à-dire que pour toutes familles finies (ei)1≤i≤n d'éléments de B deux à deux distincts et (ai)1≤i≤n d'éléments de l'anneau sous-jacent telles que a1e1 + .
