Puissance du continuEn mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, on dit qu'un ensemble E a la puissance du continu (ou parfois le cardinal du continu) s'il est équipotent à l'ensemble R des nombres réels, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E dans R. Le cardinal de R est parfois noté , en référence au , nom donné à l'ensemble ordonné (R, ≤). Cet ordre (et a fortiori le cardinal de l'ensemble sous-jacent) est entièrement déterminé (à isomorphisme près) par quelques propriétés classiques.
Cardinal limiteEn mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, un cardinal limite est un type particulier de nombre cardinal. Il en existe deux définitions, une "faible" et l'autre "forte", qu'il faut distinguer selon le contexte. Un nombre cardinal est un cardinal faiblement limite si ce n'est ni 0, ni un cardinal successeur. Ceci signifie qu'on ne peut pas "accéder" à par une opération de succession sur les cardinaux, c'est-à-dire que ne s'écrit pas sous la forme .
Ensemble clubEn théorie des ensembles, une partie d'un ordinal limite est dite club (de l'anglais closed unbounded) si elle est fermée pour la topologie de l'ordre et non bornée. Les clubs sont des objets combinatoires importants en théorie des ensembles. Soit un ordinal limite et soit une partie de . On dit que est une partie club dans , ou encore est club dans , ou juste est club s'il n'y a pas d’ambiguïté, si les deux conditions suivantes sont satisfaites : est fermée pour la topologie de l'ordre sur , c'est-à-dire que pour tout , si , alors .
Cofinal (mathematics)In mathematics, a subset of a preordered set is said to be cofinal or frequent in if for every it is possible to find an element in that is "larger than " (explicitly, "larger than " means ). Cofinal subsets are very important in the theory of directed sets and nets, where “cofinal subnet” is the appropriate generalization of "subsequence".
Théorème d'EastonEn théorie des ensembles, le théorème d'Easton est un résultat décrivant les nombres cardinaux possibles pour des ensembles de parties. (améliorant un résultat de Robert Solovay) montra par forcing que les seules contraintes sur les valeurs possibles de 2κ, où κ est un cardinal régulier, sont celles découlant du théorème de Cantor et du théorème de König : , et (où cf(α) est la cofinalité de α).
CofinalitéConsidérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de .
ForcingEn mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles. Elle a été utilisée pour la première fois en 1962 pour prouver l'indépendance de l'hypothèse du continu vis-à-vis de la théorie ZFC. Combinée avec la technique des modèles de permutation de Fraenkel-Mostowski-Specker, elle a permis également d'établir l'indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF.
Univers constructibleEn mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté , est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples. Elle a été introduite en 1938 par Kurt Gödel dans son article sur . Il y montrait que cette classe est un de la théorie ZF et que l'axiome du choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans ce modèle. Ceci prouve que ces deux propositions sont cohérentes avec les axiomes de ZF, à condition que ZF soit déjà cohérente.
Aleph (nombre)vignette|Aleph-zéro, le plus petit aleph En théorie des ensembles, les alephs sont les cardinaux des ensembles infinis bien ordonnés. En quelque sorte, le cardinal d'un ensemble représente sa « taille », indépendamment de toute structure que puisse avoir cet ensemble (celle d'ordre en particulier dans le cas présent). Ils sont nommés ainsi d'après la lettre aleph, notée א, première lettre de l'alphabet hébreu, qui est utilisée pour les représenter.
Cardinal inaccessibleEn mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un cardinal inaccessible est un cardinal ne pouvant être construit à partir de cardinaux plus petits à l'aide des axiomes de ZFC ; cette propriété fait qu'un cardinal inaccessible est un grand cardinal. Un cardinal infini א est : soit א0 si α = 0 ; soit limite (au sens faible) si α est un ordinal limite ; soit successeur de א si α = β + 1.
Nombre ordinalvignette|Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωω. En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession.
