Groupe de papier peintUn groupe de papier peint (ou groupe d'espace bidimensionnel, ou groupe cristallographique du plan) est un groupe mathématique constitué par l'ensemble des symétries d'un motif bidimensionnel périodique. De tels motifs, engendrés par la répétition (translation) à l'infini d'une forme dans deux directions du plan, sont souvent utilisés en architecture et dans les arts décoratifs. Il existe 17 types de groupes de papier peint, qui permettent une classification mathématique de tous les motifs bidimensionnels périodiques.
Groupe d'espaceLe groupe d'espace d'un cristal est constitué par l'ensemble des symétries d'une structure cristalline, c'est-à-dire l'ensemble des isométries affines laissant la structure invariante. Il s'agit d'un groupe au sens mathématique du terme. Tout groupe d'espace résulte de la combinaison d'un réseau de Bravais et d'un groupe ponctuel de symétrie : toute symétrie de la structure résulte du produit d'une translation du réseau et d'une transformation du groupe ponctuel. La notation de Hermann-Mauguin est utilisée pour représenter un groupe d'espace.
Orbifold notationIn geometry, orbifold notation (or orbifold signature) is a system, invented by the mathematician William Thurston and promoted by John Conway, for representing types of symmetry groups in two-dimensional spaces of constant curvature. The advantage of the notation is that it describes these groups in a way which indicates many of the groups' properties: in particular, it follows William Thurston in describing the orbifold obtained by taking the quotient of Euclidean space by the group under consideration.
Coxeter notationIn geometry, Coxeter notation (also Coxeter symbol) is a system of classifying symmetry groups, describing the angles between fundamental reflections of a Coxeter group in a bracketed notation expressing the structure of a Coxeter-Dynkin diagram, with modifiers to indicate certain subgroups. The notation is named after H. S. M. Coxeter, and has been more comprehensively defined by Norman Johnson. For Coxeter groups, defined by pure reflections, there is a direct correspondence between the bracket notation and Coxeter-Dynkin diagram.
One-dimensional symmetry groupA one-dimensional symmetry group is a mathematical group that describes symmetries in one dimension (1D). A pattern in 1D can be represented as a function f(x) for, say, the color at position x. The only nontrivial point group in 1D is a simple reflection. It can be represented by the simplest Coxeter group, A1, [ ], or Coxeter-Dynkin diagram . Affine symmetry groups represent translation. Isometries which leave the function unchanged are translations x + a with a such that f(x + a) = f(x) and reflections a − x with a such that f(a − x) = f(x).
Point groups in three dimensionsIn geometry, a point group in three dimensions is an isometry group in three dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a sphere. It is a subgroup of the orthogonal group O(3), the group of all isometries that leave the origin fixed, or correspondingly, the group of orthogonal matrices. O(3) itself is a subgroup of the Euclidean group E(3) of all isometries. Symmetry groups of geometric objects are isometry groups. Accordingly, analysis of isometry groups is analysis of possible symmetries.
Symétrie de translationLa symétrie de translation ou invariance sous les translations est le nom que l'on donne au fait que les lois de la physique (les lois sur la gravité de Newton, sur l'électromagnétisme de Maxwell, sur la relativité d'Einstein) s'écrivent de la même façon en tout point de l'espace. Il y a brisure de symétrie lorsqu'un système ne possède pas la symétrie de translation On peut donner une explication plus précise. Prenons d'abord l'exemple de la loi de la gravitation de Newton. On prend un référentiel de référence qu'on appelle .
Réflexion glisséeEn géométrie euclidienne, une réflexion glissée du plan euclidien est une isométrie affine de ce plan, constituée de la composée d'une réflexion par rapport à une droite et d'une translation dans la direction de cette droite. Cette composition est ici commutative. Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion glissée est la composée d'une réflexion par rapport à un hyperplan et d'une translation parallèlement à cet hyperplan. Réflexion (mathématiques) Symétrie (transformation géomét
Notation SchoenfliesLa notation Schoenflies (ou Schönflies ou Schönfließ), du nom d'Arthur Moritz Schoenflies, est l'une de deux conventions communes utilisées pour décrire les groupes ponctuels de symétrie (aussi appelés groupes cristallographiques). Cette notation est utilisée en spectroscopie. L'autre convention est la notation Hermann-Mauguin, aussi connue sous le nom de notation internationale. Un groupe ponctuel de symétrie dans la convention de Schoenflies est complètement adéquat pour décrire la symétrie de la molécule ; c'est suffisant pour la spectroscopie.
Symétrie de rotationEn physique, la symétrie de rotation, ou invariance par rotation, est la propriété d'une théorie, ou d'un système physique de ne pas être modifié soit par une rotation spatiale quelconque, ou alors par seulement certaines d'entre elles. Lorsque le système est invariant par n'importe quelle rotation d'espace, on parle d'isotropie (du Grec isos (ἴσος, "égal, identique") et tropos (τρόπος, "tour, direction"). Dans ce cas toutes les directions de l'espace sont équivalentes.
SymétrieLa symétrie est une propriété d'un système : c'est lorsque deux parties sont semblables. L'exemple le plus connu est la symétrie en géométrie. De manière générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Le concept d'automorphisme permet de préciser cette définition. Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée.
Euclidean plane isometryIn geometry, a Euclidean plane isometry is an isometry of the Euclidean plane, or more informally, a way of transforming the plane that preserves geometrical properties such as length. There are four types: translations, rotations, reflections, and glide reflections (see below under ). The set of Euclidean plane isometries forms a group under composition: the Euclidean group in two dimensions. It is generated by reflections in lines, and every element of the Euclidean group is the composite of at most three distinct reflections.
Groupe de symétrieLe groupe de symétrie, ou groupe des isométries, d'un objet (, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous.
Chirality (mathematics)In geometry, a figure is chiral (and said to have chirality) if it is not identical to its , or, more precisely, if it cannot be mapped to its mirror image by rotations and translations alone. An object that is not chiral is said to be achiral. A chiral object and its mirror image are said to be enantiomorphs. The word chirality is derived from the Greek χείρ (cheir), the hand, the most familiar chiral object; the word enantiomorph stems from the Greek ἐναντίος (enantios) 'opposite' + μορφή (morphe) 'form'.
Infinite dihedral groupIn mathematics, the infinite dihedral group Dih∞ is an infinite group with properties analogous to those of the finite dihedral groups. In two-dimensional geometry, the infinite dihedral group represents the frieze group symmetry, p1m1, seen as an infinite set of parallel reflections along an axis. Every dihedral group is generated by a rotation r and a reflection; if the rotation is a rational multiple of a full rotation, then there is some integer n such that rn is the identity, and we have a finite dihedral group of order 2n.
Groupe discretIn mathematics, a topological group G is called a discrete group if there is no limit point in it (i.e., for each element in G, there is a neighborhood which only contains that element). Equivalently, the group G is discrete if and only if its identity is isolated. A subgroup H of a topological group G is a discrete subgroup if H is discrete when endowed with the subspace topology from G. In other words there is a neighbourhood of the identity in G containing no other element of H.
