Morphism of algebraic varietiesIn algebraic geometry, a morphism between algebraic varieties is a function between the varieties that is given locally by polynomials. It is also called a regular map. A morphism from an algebraic variety to the affine line is also called a regular function. A regular map whose inverse is also regular is called biregular, and the biregular maps are the isomorphisms of algebraic varieties.
Ample line bundleIn mathematics, a distinctive feature of algebraic geometry is that some line bundles on a projective variety can be considered "positive", while others are "negative" (or a mixture of the two). The most important notion of positivity is that of an ample line bundle, although there are several related classes of line bundles. Roughly speaking, positivity properties of a line bundle are related to having many global sections. Understanding the ample line bundles on a given variety X amounts to understanding the different ways of mapping X into projective space.
GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Droite projectiveEn géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1. En première approche (en oubliant sa structure géométrique), la droite projective sur un corps , notée , peut être définie comme l'ensemble des droites vectorielles du plan vectoriel . Cet ensemble s'identifie à la droite à laquelle on ajoute un point à l'infini. La notion de droite projective se généralise en remplaçant le corps par un anneau. Une droite vectorielle de , et donc un point de la droite projective , est définie par un point de cette droite autre que l'origine.
Éclatement (mathématiques)En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre ou algébriques qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres Le cas le plus simple est celui où D est un point ; E est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif. L'éclatement de l'origine dans s'obtient de la façon suivante. Soit Pn – 1 l'espace projectif de dimension n – 1 muni de coordonnées . Soit le sous-ensemble de Cn × Pn – 1 défini par les équations pour i, j = 1, ..., n.
Fano varietyIn algebraic geometry, a Fano variety, introduced by Gino Fano in , is a complete variety X whose anticanonical bundle KX* is ample. In this definition, one could assume that X is smooth over a field, but the minimal model program has also led to the study of Fano varieties with various types of singularities, such as terminal or klt singularities. Recently techniques in differential geometry have been applied to the study of Fano varieties over the complex numbers, and success has been found in constructing moduli spaces of Fano varieties and proving the existence of Kähler–Einstein metrics on them through the study of K-stability of Fano varieties.
Diviseur (géométrie algébrique)En mathématiques, plus précisément en géométrie algébrique, les diviseurs sont une généralisation des sous-variétés de codimension 1 de variétés algébriques ; deux généralisations différentes sont d'un usage commun : les diviseurs de Weil et les diviseurs de Cartier. Les deux concepts coïncident dans les cas des variétés non singulières. En géométrie algébrique, comme en géométrie analytique complexe, ou en géométrie arithmétique, les diviseurs forment un groupe qui permet de saisir la nature d'un schéma (une variété algébrique, une surface de Riemann, un anneau de Dedekind.
Function field of an algebraic varietyIn algebraic geometry, the function field of an algebraic variety V consists of objects which are interpreted as rational functions on V. In classical algebraic geometry they are ratios of polynomials; in complex algebraic geometry these are meromorphic functions and their higher-dimensional analogues; in modern algebraic geometry they are elements of some quotient ring's field of fractions. In complex algebraic geometry the objects of study are complex analytic varieties, on which we have a local notion of complex analysis, through which we may define meromorphic functions.
Point rationnelEn théorie des nombres et géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique définie sur un corps sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système. Soit une variété algébrique définie sur un corps . Un point est appelé un point rationnel si le corps résiduel de X en x est égal à . Cela revient à dire que les coordonnées du point dans une carte locale affine appartiennent toutes à .
Canonical bundleIn mathematics, the canonical bundle of a non-singular algebraic variety of dimension over a field is the line bundle , which is the nth exterior power of the cotangent bundle on . Over the complex numbers, it is the determinant bundle of the holomorphic cotangent bundle . Equivalently, it is the line bundle of holomorphic n-forms on . This is the dualising object for Serre duality on . It may equally well be considered as an invertible sheaf.
Courbe algébriqueEn mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une courbe algébrique est une variété algébrique (ou un schéma de type fini) sur un corps, dont les composantes irréductibles sont de dimension 1. Cette définition est la généralisation moderne de celle des courbes algébriques classiques, telles que les coniques, définies, dans le cas des courbes planes, comme l'ensemble des points solutions d'une équation polynomiale. Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps est une variété algébrique de dimension 1 sur , séparée pour éviter des pathologies.
Minimal model programIn algebraic geometry, the minimal model program is part of the birational classification of algebraic varieties. Its goal is to construct a birational model of any complex projective variety which is as simple as possible. The subject has its origins in the classical birational geometry of surfaces studied by the Italian school, and is currently an active research area within algebraic geometry. The basic idea of the theory is to simplify the birational classification of varieties by finding, in each birational equivalence class, a variety which is "as simple as possible".
Kodaira dimensionIn algebraic geometry, the Kodaira dimension κ(X) measures the size of the canonical model of a projective variety X. Igor Shafarevich in a seminar introduced an important numerical invariant of surfaces with the notation κ. Shigeru Iitaka extended it and defined the Kodaira dimension for higher dimensional varieties (under the name of canonical dimension), and later named it after Kunihiko Kodaira. The canonical bundle of a smooth algebraic variety X of dimension n over a field is the line bundle of n-forms, which is the nth exterior power of the cotangent bundle of X.
Variété rationnelleEn géométrie algébrique, une variété rationnelle est une variété algébrique (intègre) V sur un corps K qui est birationnelle à un espace projectif sur K, c'est-à-dire qu'un certain ouvert dense de V est isomorphe à un ouvert d'un espace projectif. De façon équivalente, cela signifie que son corps de fonctions est isomorphe au corps des fractions rationnelles à d indéterminées K(U, ... , U), l'entier d étant alors égal à la dimension de la variété. Soit V une variété algébrique affine de dimension d définie par un idéal premier ⟨f, .
Singular point of an algebraic varietyIn the mathematical field of algebraic geometry, a singular point of an algebraic variety V is a point P that is 'special' (so, singular), in the geometric sense that at this point the tangent space at the variety may not be regularly defined. In case of varieties defined over the reals, this notion generalizes the notion of local non-flatness. A point of an algebraic variety which is not singular is said to be regular. An algebraic variety which has no singular point is said to be non-singular or smooth.
Rational mappingIn mathematics, in particular the subfield of algebraic geometry, a rational map or rational mapping is a kind of partial function between algebraic varieties. This article uses the convention that varieties are irreducible. Formally, a rational map between two varieties is an equivalence class of pairs in which is a morphism of varieties from a non-empty open set to , and two such pairs and are considered equivalent if and coincide on the intersection (this is, in particular, vacuously true if the intersection is empty, but since is assumed irreducible, this is impossible).
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
Schéma (géométrie algébrique)En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Dimension of an algebraic varietyIn mathematics and specifically in algebraic geometry, the dimension of an algebraic variety may be defined in various equivalent ways. Some of these definitions are of geometric nature, while some other are purely algebraic and rely on commutative algebra. Some are restricted to algebraic varieties while others apply also to any algebraic set. Some are intrinsic, as independent of any embedding of the variety into an affine or projective space, while other are related to such an embedding.
Courbe hyperelliptiquedroite|vignette|Une courbe hyperelliptique, d'équation En géométrie algébrique, une courbe hyperelliptique est un cas particulier de courbe algébrique de genre g > 1 donnée par une équation de la forme : où f(x) est un polynôme de degré n = 2g + 1 > 4 ou avec n = 2g + 2 > 4 racines distinctes et h(x) est un polynôme de degré strictement inférieur à g + 2 (si la caractéristique du corps commutatif n'est pas 2, on peut prendre h(x) = 0).
