Identité des quatre carrés d'EulerEn mathématiques, l'identité des quatre carrés d'Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés. Précisément : Généralisant l'identité de Diophante obtenue pour , elle est utilisée en arithmétique modulaire. Le mathématicien suisse Leonhard Euler donne cette identité le (avec ε = 1), et de nouveau le (avec ε = ±1), dans deux lettres à Christian Goldbach. L'identité fut utilisée par Lagrange pour prouver son théorème des quatre carrés.
Théorème de Frobenius généraliséEn mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif R des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : R lui-même, C (complexes), H (quaternions) et O (octonions). Toutes les algèbres sont ici implicitement supposées unifères, et leur unicité s'entend à isomorphisme près.
Algèbre de quaternionsEn mathématiques, une algèbre de quaternions sur un corps commutatif K est une K-algèbre de dimension 4 qui généralise à la fois le corps des quaternions de Hamilton et l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2. Pour être plus précis, ce sont les algèbres centrales simples sur K de degré 2. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque). On appelle algèbre de quaternions sur K toute algèbre (unitaire et associative) A de dimension 4 sur K qui est simple (c'est-à-dire que A et {0} sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est K.
Nombre complexe déployéEn mathématiques, les nombres complexes déployés ou fendus forment un anneau commutatif non-intègre, extension des nombres réels définis de manière analogue aux nombres complexes (usuels). La différence-clef entre les deux est que la multiplication des nombres complexes (usuels) respecte la norme euclidienne standard (carrée) : sur alors que la multiplication des nombres complexes déployés, quant à elle, respecte la norme de Minkowski ou norme lorentzienne (carrée) Les nombres complexes déployés ont beaucoup d'autres noms, voir la section des synonymes ci-dessous.
Octonion déployéEn mathématiques, les octonions déployés ou octonions fendus sont une extension non associative des quaternions (ou des coquaternions). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions déployés ont une signature mixte (4,4) alors que les octonions ont une signature définie positive (8,0). Les octonions et les octonions déployés peuvent être obtenus par la construction de Cayley–Dickson en définissant une multiplication sur les paires de quaternions.
CoquaternionEn mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton inventés en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents. L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré.
ComplexificationIn mathematics, the complexification of a vector space V over the field of real numbers (a "real vector space") yields a vector space V^C over the complex number field, obtained by formally extending the scaling of vectors by real numbers to include their scaling ("multiplication") by complex numbers. Any basis for V (a space over the real numbers) may also serve as a basis for V^C over the complex numbers. Let be a real vector space.
BiquaternionEn mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au . William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente. biquaternion de Clifford Il y a aussi une autre notion de biquaternions, distincte : une algèbre de biquaternions sur un corps commutatif K est une algèbre qui est isomorphe au produit tensoriel de deux algèbres de quaternions sur K (sa dimension est 16 sur K, et non pas 8 sur R).
Vecteur isotropeEn mathématiques, un vecteur isotrope pour une forme bilinéaire f est un vecteur x tel que f(x, x) = 0. Soient E un espace vectoriel et f une forme bilinéaire symétrique sur E. On dit qu'un vecteur x de E est isotrope (pour f, ou pour la forme quadratique associée) si f(x, x) = 0. L'ensemble des vecteurs isotropes est appelé le cône isotrope. Il contient le noyau de f. Au cône isotrope, on associe une quadrique projective. La forme bilinéaire est dite définie — et la forme quadratique est dite anisotrope — si 0 est son seul vecteur isotrope.
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Nombre hypercomplexeEn mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Élie Cartan. L'étude des systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire. Les nombres hypercomplexes sont utilisés en physique quantique pour calculer la probabilité d'un événement en tenant compte du spin de la particule.
Carré (algèbre)En arithmétique et en algèbre, le carré est une opération consistant à multiplier un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux nombres, et en particulier aux entiers naturels, pour lesquels le carré est figuré par une disposition en carré au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé carré parfait. Mais plus généralement, on parle du carré d’une fonction, d’une matrice, ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération notée multiplicativement, comme la composition des endomorphismes ou le produit cartésien.
Algèbre à divisionEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, une algèbre à division est une algèbre sur un corps avec la possibilité de diviser par un élément non nul (à droite et à gauche). Toutefois, dans une algèbre à division, la multiplication peut ne pas être commutative, ni même associative. Un anneau à division ou corps gauche, comme celui-des quaternions, est une algèbre associative à division sur son centre, ou sur un sous-corps de celui-ci. Soit A un anneau unitaire. L'élément 0 n'est pas inversible, sauf si A est nul.
Involution (mathématiques)En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne. En algèbre linéaire, les endomorphismes involutifs sont d'ailleurs appelés symétries. Des involutions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en combinatoire et en topologie.
OctonionEn mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps R des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée O. En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, ils gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie. Les octonions ont été découverts en 1843 par , un ami de William Hamilton, qui les appela octaves.
Quaternionvignette|Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres plus vastes où la multiplication n'est cette fois-ci plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur.
