Groupe de friseUn groupe de frise, en mathématiques, est un sous-groupe du groupe des isométries affines du plan euclidien tel que l'ensemble des translations qu'il contient forme lui-même un groupe isomorphe au groupe Z des entiers relatifs. Une frise est alors une partie du plan telle que l'ensemble des isométries qui la laissent globalement invariante est un groupe de frise. Usuellement, une frise est représentée par un motif se répétant périodiquement dans une direction donnée. Ce concept modélise les frises utilisées en architecture ou en décoration.
Groupe d'espaceLe groupe d'espace d'un cristal est constitué par l'ensemble des symétries d'une structure cristalline, c'est-à-dire l'ensemble des isométries affines laissant la structure invariante. Il s'agit d'un groupe au sens mathématique du terme. Tout groupe d'espace résulte de la combinaison d'un réseau de Bravais et d'un groupe ponctuel de symétrie : toute symétrie de la structure résulte du produit d'une translation du réseau et d'une transformation du groupe ponctuel. La notation de Hermann-Mauguin est utilisée pour représenter un groupe d'espace.
Coxeter notationIn geometry, Coxeter notation (also Coxeter symbol) is a system of classifying symmetry groups, describing the angles between fundamental reflections of a Coxeter group in a bracketed notation expressing the structure of a Coxeter-Dynkin diagram, with modifiers to indicate certain subgroups. The notation is named after H. S. M. Coxeter, and has been more comprehensively defined by Norman Johnson. For Coxeter groups, defined by pure reflections, there is a direct correspondence between the bracket notation and Coxeter-Dynkin diagram.
Réseau (géométrie)En mathématiques, un réseau d'un espace (vectoriel) euclidien est un sous-groupe discret de l’espace, de rang fini n. Par exemple, les vecteurs de Rn à coordonnées entières dans une base forment un réseau de Rn. Cette notion permet de décrire mathématiquement des maillages, comme celui correspondant à la figure 1. thumb|Fig. 1. Un réseau est un ensemble discret disposé dans un espace vectoriel réel de dimension finie de manière régulière, au sens où la différence de deux éléments du réseau est encore élément du réseau.
Symétrie de rotationEn physique, la symétrie de rotation, ou invariance par rotation, est la propriété d'une théorie, ou d'un système physique de ne pas être modifié soit par une rotation spatiale quelconque, ou alors par seulement certaines d'entre elles. Lorsque le système est invariant par n'importe quelle rotation d'espace, on parle d'isotropie (du Grec isos (ἴσος, "égal, identique") et tropos (τρόπος, "tour, direction"). Dans ce cas toutes les directions de l'espace sont équivalentes.
Orbifold notationIn geometry, orbifold notation (or orbifold signature) is a system, invented by the mathematician William Thurston and promoted by John Conway, for representing types of symmetry groups in two-dimensional spaces of constant curvature. The advantage of the notation is that it describes these groups in a way which indicates many of the groups' properties: in particular, it follows William Thurston in describing the orbifold obtained by taking the quotient of Euclidean space by the group under consideration.
OrbifoldEn mathématiques, un orbifold (parfois appelé aussi orbivariété) est une généralisation de la notion de variété contenant de possibles singularités. Ces espaces ont été introduits explicitement pour la première fois par Ichirō Satake en 1956 sous le nom de V-manifolds. Pour passer de la notion de variété (différentiable) à celle d'orbifold, on ajoute comme modèles locaux tous les quotients d'ouverts de par l'action de groupes finis. L'intérêt pour ces objets a été ravivé considérablement à la fin des années 70 par William Thurston en relation avec sa conjecture de géométrisation.
Symétrie de translationLa symétrie de translation ou invariance sous les translations est le nom que l'on donne au fait que les lois de la physique (les lois sur la gravité de Newton, sur l'électromagnétisme de Maxwell, sur la relativité d'Einstein) s'écrivent de la même façon en tout point de l'espace. Il y a brisure de symétrie lorsqu'un système ne possède pas la symétrie de translation On peut donner une explication plus précise. Prenons d'abord l'exemple de la loi de la gravitation de Newton. On prend un référentiel de référence qu'on appelle .
Groupe de symétrieLe groupe de symétrie, ou groupe des isométries, d'un objet (, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous.
Maurits Cornelis EscherMaurits Cornelis Escher, né le à Leeuwarden et mort le à Laren, plus couramment nommé M. C. Escher, est un artiste néerlandais, connu pour ses gravures sur bois, manières noires et lithographies souvent inspirées des mathématiques et des motifs de l'art islamique. Au cours de sa vie, il a réalisé , et plus de et esquisses. Il a également illustré des livres, des tapisseries, des timbres et des œuvres murales.
SymétrieLa symétrie est une propriété d'un système : c'est lorsque deux parties sont semblables. L'exemple le plus connu est la symétrie en géométrie. De manière générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Le concept d'automorphisme permet de préciser cette définition. Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée.
Pavage du planthumb|Pavage constitué de triangles équilatéraux et d'hexagones, dit pavage trihexagonal. thumb|Pavage hexagonal de tomettes provençales en terre cuite. Un pavage du plan est un ensemble de portions du plan, par exemple des polygones, dont l'union est le plan tout entier, sans recouvrement. Plus précisément, c'est une partition du plan euclidien par des éléments d'un ensemble fini, appelés « carreaux » (plus précisément, ce sont des compacts d’intérieur non vide).
Point groups in three dimensionsIn geometry, a point group in three dimensions is an isometry group in three dimensions that leaves the origin fixed, or correspondingly, an isometry group of a sphere. It is a subgroup of the orthogonal group O(3), the group of all isometries that leave the origin fixed, or correspondingly, the group of orthogonal matrices. O(3) itself is a subgroup of the Euclidean group E(3) of all isometries. Symmetry groups of geometric objects are isometry groups. Accordingly, analysis of isometry groups is analysis of possible symmetries.
Groupe ponctuel de symétrieEn géométrie, un groupe ponctuel de symétrie est un sous-groupe d'un groupe orthogonal : il est composé d'isométries, c'est-à-dire d'applications linéaires laissant invariants les distances et les angles. Le groupe ponctuel de symétrie d'une molécule est constitué des isométries qui laissent la molécule, en tant que forme géométrique, invariante. thumb|Figure 1 : exemple de rotation En cristallographie, un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la morphologie d’un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d’un cristal est décrite par les groupes d’espace).
Euclidean plane isometryIn geometry, a Euclidean plane isometry is an isometry of the Euclidean plane, or more informally, a way of transforming the plane that preserves geometrical properties such as length. There are four types: translations, rotations, reflections, and glide reflections (see below under ). The set of Euclidean plane isometries forms a group under composition: the Euclidean group in two dimensions. It is generated by reflections in lines, and every element of the Euclidean group is the composite of at most three distinct reflections.
Carreau (construction)thumb|Carreau de pavement, terre glaçurée, époque médiévale (), provenant de Senlis, Laon ou les environs. Musée d'art et d'archéologie de Laon. France En construction, un carreau, éventuellement suivi d'un nom de matière, désigne un élément carré ou parallélépipédique employé dans différents domaines. Les carreaux employés pour le pavement ou le carrelage sont des éléments en pierre naturelle ou artificielle (carreau de céramique ou carreau ciment). Les carreaux de céramique deviennent un support à l'ornementation prisé de beaucoup de cultures et de pays.
Harold Scott MacDonald CoxeterHarold Scott MacDonald « Donald » Coxeter (, Londres - , Toronto, Canada) est un mathématicien britannique. Il est considéré comme un des grands géomètres du . Une de ses idées originales fut de définir une conique comme une courbe autoduale. Il s'est fait connaître par son travail sur les polytopes réguliers et la géométrie en dimension supérieure. Il a rencontré M. C. Escher et son œuvre géométrique a été une source importante d'inspiration pour ce dernier. Il a aussi inspiré certaines des innovations de Buckminster Fuller.
Square latticeIn mathematics, the square lattice is a type of lattice in a two-dimensional Euclidean space. It is the two-dimensional version of the integer lattice, denoted as \mathbb{Z}^2. It is one of the five types of two-dimensional lattices as classified by their symmetry groups; its symmetry group in IUC notation as p4m, Coxeter notation as [4,4], and orbifold notation as *442. Two orientations of an image of the lattice are by far the most common.
Figures géométriques arabesLes figures (ou motifs) géométriques constituent un motif ornemental récurrent de l'art mauresque (et plus particulièrement de la décoration des maisons de style maure). Les frises sont composées de merlons échelonnés en ligne horizontale. Les pannonceaux de mosaïque répètent en rythme un ou deux motifs principaux, qui s'imbriquent en alternance. Les alicatados, terme castillan, désignent des ensembles décoratifs de céramique vitrifiée qui sont appliqués sur les façades intérieures des palais.
Réflexion glisséeEn géométrie euclidienne, une réflexion glissée du plan euclidien est une isométrie affine de ce plan, constituée de la composée d'une réflexion par rapport à une droite et d'une translation dans la direction de cette droite. Cette composition est ici commutative. Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion glissée est la composée d'une réflexion par rapport à un hyperplan et d'une translation parallèlement à cet hyperplan. Réflexion (mathématiques) Symétrie (transformation géomét
