Concept
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un anneau A est dit semi-simple si A, considéré comme A-module, est semi-simple, c'est-à-dire somme directe de A-modules qui n'admettent pas d'autres sous-modules que {0} et lui-même. À isomorphisme près, ce sont les anneaux produits d'anneaux de matrices carrées sur des corps, commutatifs ou non. Cette notion est présente dans de nombreuses branches mathématiques : on peut citer l'algèbre linéaire, l'arithmétique, la théorie des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de réciprocité de Frobenius. La théorie des algèbres semi-simples se fonde sur le lemme de Schur et le théorème d'Artin-Wedderburn. module simple Soient A un anneau et M un A-module. On dit que M est simple s'il est non réduit à 0 et si {0} et M sont ses seuls sous-modules. Par exemple, les espaces vectoriels qui sont simples en tant que modules sur un corps sont ceux qui sont de dimension 1. M est dit semi-simple si M est isomorphe à la somme directe d'une famille (finie ou non) de A-modules simples. Il est aussi équivalent de dire que, pour tout sous-module N, il existe un sous-module P de M tel que M est somme directe interne de N et P. Par exemple, tout espace vectoriel sur un corps est semi-simple. On dit qu'un anneau A est semi-simple si, en considérant A comme un A-module (à gauche ou à droite), A est semi-simple. On dit qu'une algèbre (unitaire associative) sur un corps commutatif est semi-simple si son anneau sous-jacent est semi-simple. Puisque, en considérant A comme un A-module, les sous-module de A sont les idéaux à gauche de A, il est équivalent de dire que: A est semi-simple; A est, en tant que A-module, isomorphe à la somme directe d'une famille (finie ou non) de A-modules de la famille A/I, où I est un idéal à gauche maximal de A; Pour tout idéal à gauche I de A, il existe un idéal à gauche J tel que A est somme directe de I et J, c'est-à-dire pour tout élément x de A, il existe un unique couple (y, z) avec y dans J et z dans J tel que x = y + z.