Fondements des mathématiquesLes fondements des mathématiques sont les principes de la philosophie des mathématiques sur lesquels est établie cette science. Le logicisme a été prôné notamment par Gottlob Frege et Bertrand Russell. La mathématique pure présente deux caractéristiques : la généralité de son discours et la déductibilité du discours mathématique . En ce que le discours mathématique ne prétend qu’à une vérité formelle, il est possible de réduire les mathématiques à la logique, les lois logiques étant les lois du « vrai ».
Lambda-calculLe lambda-calcul (ou λ-calcul) est un système formel inventé par Alonzo Church dans les années 1930, qui fonde les concepts de fonction et d'application. On y manipule des expressions appelées λ-expressions, où la lettre grecque λ est utilisée pour lier une variable. Par exemple, si M est une λ-expression, λx.M est aussi une λ-expression et représente la fonction qui à x associe M. Le λ-calcul a été le premier formalisme pour définir et caractériser les fonctions récursives : il a donc une grande importance dans la théorie de la calculabilité, à l'égal des machines de Turing et du modèle de Herbrand-Gödel.
Type systemIn computer programming, a type system is a logical system comprising a set of rules that assigns a property called a type (for example, integer, floating point, string) to every "term" (a word, phrase, or other set of symbols). Usually the terms are various constructs of a computer program, such as variables, expressions, functions, or modules. A type system dictates the operations that can be performed on a term. For variables, the type system determines the allowed values of that term.
Intuitionistic type theoryIntuitionistic type theory (also known as constructive type theory, or Martin-Löf type theory) is a type theory and an alternative foundation of mathematics. Intuitionistic type theory was created by Per Martin-Löf, a Swedish mathematician and philosopher, who first published it in 1972. There are multiple versions of the type theory: Martin-Löf proposed both intensional and extensional variants of the theory and early impredicative versions, shown to be inconsistent by Girard's paradox, gave way to predicative versions.
Typed lambda calculusA typed lambda calculus is a typed formalism that uses the lambda-symbol () to denote anonymous function abstraction. In this context, types are usually objects of a syntactic nature that are assigned to lambda terms; the exact nature of a type depends on the calculus considered (see kinds below). From a certain point of view, typed lambda calculi can be seen as refinements of the untyped lambda calculus, but from another point of view, they can also be considered the more fundamental theory and untyped lambda calculus a special case with only one type.
Type dépendantEn Informatique et en Logique, un type dépendant est un type qui peut dépendre d'une valeur définie dans le langage typé. Les langages Agda et Gallina (de l'assistant de preuve Coq) sont des exemples de langages à type dépendant. Les types dépendants permettent par exemple de définir le type des listes à n éléments. Voici un exemple en Coq. Inductive Vect (A: Type): nat -> Type := | nil: Vect A 0 | cons (n: nat) (x: A) (t: Vect A n): Vect A (S n).
Simply typed lambda calculusThe simply typed lambda calculus (), a form of type theory, is a typed interpretation of the lambda calculus with only one type constructor () that builds function types. It is the canonical and simplest example of a typed lambda calculus. The simply typed lambda calculus was originally introduced by Alonzo Church in 1940 as an attempt to avoid paradoxical use of the untyped lambda calculus. The term simple type is also used to refer extensions of the simply typed lambda calculus such as products, coproducts or natural numbers (System T) or even full recursion (like PCF).
Paradoxe de RussellLe paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci. Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903. Il était en fait déjà connu à Göttingen, où il avait été découvert indépendamment par Ernst Zermelo, à la même époque, mais ce dernier ne l'a pas publié.
Quantification (logique)vignette|Symboles mathématiques des deux quantificateurs logiques les plus courants.|236px En mathématiques, les expressions « pour tout » (ou « quel que soit ») et « il existe », utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats, sont appelées des quantifications. Les symboles qui les représentent en langage formel sont appelés des quantificateurs (ou autrefois des quanteurs). La quantification universelle (« pour tout ... » ou « quel que soit ... ») se dénote par le symbole ∀ (un A à l'envers).
Système FLe est un formalisme logique qui permet d'exprimer de façon très riche et très rigoureuse des fonctions et d'y démontrer formellement des propriétés difficiles. Plus précisément, le (également connu sous le nom de lambda-calcul polymorphe ou de lambda-calcul du second ordre) est une extension du lambda-calcul simplement typé introduite indépendamment par le logicien Jean-Yves Girard et par l'informaticien John C. Reynolds. Ce système se distingue du lambda-calcul simplement typé par l'existence d'une quantification universelle sur les types qui permet d'exprimer du polymorphisme.
Constructivisme (mathématiques)En philosophie des mathématiques, le constructivisme est une position vis-à-vis des mathématiques qui considère que l'on ne peut effectivement démontrer l'existence d'objets mathématiques qu'en donnant une construction de ceux-ci, une suite d'opérations mentales qui conduit à l'évidence de l'existence de ces objets. En particulier, les constructivistes ne considèrent pas que le raisonnement par l'absurde est universellement valide, une preuve d'existence par l'absurde (c-à-d une preuve où la non-existence entraîne une contradiction) ne conduisant pas en soi à une construction de l'objet.
Théorie de la démonstrationLa théorie de la démonstration, aussi connue sous le nom de théorie de la preuve (de l'anglais proof theory), est une branche de la logique mathématique. Elle a été fondée par David Hilbert au début du . Hilbert a proposé cette nouvelle discipline mathématique lors de son célèbre exposé au congrès international des mathématiciens en 1900 avec pour objectif de démontrer la cohérence des mathématiques.
Logique d'ordre supérieurLes logiques d'ordre supérieur (en anglais, higher-order logic ou HOL) sont des logiques formelles permettant d'utiliser des variables qui réfèrent à des fonctions ou à des prédicats. Elles étendent le calcul des prédicats. Cela revient à dire que l'on considère les fonctions et prédicats comme des objets de base à part entière, au même titre que, par exemple, un nombre entier. On s'autorisera ainsi, d'une part, à quantifier les prédicats et les fonctions et, d'autre part, à donner des fonctions ou des prédicats en arguments à d'autres fonctions ou prédicats.
Algèbre de Boole (logique)Lalgèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. L'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
Upletvignette|Coordonnées XYZ. Basé sur le travail d'InductiveLoad En mathématiques, un uplet (désigné aussi par liste , famille finie, ou suite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si n est un entier naturel, alors un n-uplet, ou n-uple, ou n-liste est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet. En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX.
Déduction naturelleEn logique mathématique, la déduction naturelle est un système formel où les règles de déduction des démonstrations sont proches des façons naturelles de raisonner. C'est une étape importante de l'histoire de la théorie de la démonstration pour plusieurs raisons : contrairement aux systèmes à la Hilbert fondés sur des listes d'axiomes logiques plus ou moins ad hoc, la déduction naturelle repose sur un principe systématique de symétrie : pour chaque connecteur, on donne une paire de règles duales (introduction/élimination) ; elle a conduit Gentzen à inventer un autre formalisme très important en théorie de la démonstration, encore plus « symétrique » : le calcul des séquents ; elle a permis dans les années 1960 d'identifier la première instance de l'isomorphisme de Curry-Howard.
Logique mathématiqueLa logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du , qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules représentant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles représentant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles ou interprétations dans des structures qui donnent un « sens » mathématique générique aux formules (et parfois même aux démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats permet de leur affecter une valeur de vérité'.
Second-order logicIn logic and mathematics, second-order logic is an extension of first-order logic, which itself is an extension of propositional logic. Second-order logic is in turn extended by higher-order logic and type theory. First-order logic quantifies only variables that range over individuals (elements of the domain of discourse); second-order logic, in addition, also quantifies over relations. For example, the second-order sentence says that for every formula P, and every individual x, either Px is true or not(Px) is true (this is the law of excluded middle).
Nombre ordinalvignette|Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωω. En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession.
