Preadditive categoryIn mathematics, specifically in , a preadditive category is another name for an Ab-category, i.e., a that is over the , Ab. That is, an Ab-category C is a such that every hom-set Hom(A,B) in C has the structure of an abelian group, and composition of morphisms is bilinear, in the sense that composition of morphisms distributes over the group operation. In formulas: and where + is the group operation. Some authors have used the term additive category for preadditive categories, but here we follow the current trend of reserving this term for certain special preadditive categories (see below).
Objet initial et objet finalEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. Donnons-nous une catégorie . Un objet de est dit initial si pour tout objet de , il existe une et une seule flèche de vers . De même, un objet est dit final (ou terminal) si pour tout objet , il existe une et une seule flèche de vers . En particulier, la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité.
Topologie initialeEn mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit. La notion duale est celle de topologie finale. Soient X un ensemble et (fi)i∈I une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Yi.
Espace pointéEn topologie, un espace pointé est un espace topologique dont on spécifie un point particulier comme étant le point de base. Formellement, il s'agit donc d'un couple (E, x) pour lequel x est un élément de E. Une application pointée entre deux espaces pointés est une application continue préservant les points de base. Les espaces pointés sont les objets d'une catégorie, notée parfois Top, dont les morphismes sont les applications pointées. Cette catégorie admet le point comme objet nul.
Catégorie concrèteEn mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple où est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie sont des ensembles munis de certaines structures, et les morphismes de cette catégorie sont les morphismes entre ensembles munis de ces structures.
Foncteur représentableOn rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple. Soit une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable s'il existe un objet X de tel que F soit isomorphe au foncteur , respectivement au foncteur . Les transformations naturelles de dans F correspondent bijectivement aux éléments de .
ÉpimorphismeEn mathématiques, le terme « épimorphisme » peut avoir deux sens. 1) En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un morphisme f : X → Y qui est simplifiable à droite de la manière suivante: g1 o f = g2 o f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1, g2 : Y → Z. Suivant ce diagramme, on peut voir les épimorphismes comme des analogues aux fonctions surjectives, bien que ce ne soit pas exactement la même chose. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie duale Cop).
Théorie des localesEn mathématiques, la théorie des locales (ou théorie des lieux, ou parfois topologie sans points, en anglais : pointless topology) est une approche de la topologie issue de la théorie des catégories et évitant de mentionner les points ; certains des « espaces » (appelés locales) étudiés par la théorie ne contiennent aucun point au sens usuel.
Topologie grossièreEn mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble X est la topologie sur X dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X. Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble ; intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.
Produit (catégorie)Dans une catégorie, le produit d'une famille d'objets est sa limite, lorsqu'elle existe. Il est donc caractérisé par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable. Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un couple , où X soit un objet de et une famille de morphismes , tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on ait . Si un tel couple existe, on dit que c'est un produit des .
Bouquet (mathématiques)In topology, the wedge sum is a "one-point union" of a family of topological spaces. Specifically, if X and Y are pointed spaces (i.e. topological spaces with distinguished basepoints and ) the wedge sum of X and Y is the quotient space of the disjoint union of X and Y by the identification where is the equivalence closure of the relation More generally, suppose is a indexed family of pointed spaces with basepoints The wedge sum of the family is given by: where is the equivalence closure of the relation In other words, the wedge sum is the joining of several spaces at a single point.
