Fonction êta de DedekindLa fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Pour un tel nombre complexe , on pose et la fonction êta est alors : , en posant . La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble. La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles et La seconde se généralise : soient des entiers tels que (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec .
Fonction elliptique de WeierstrassEn analyse complexe, les fonctions elliptiques de Weierstrass forment une classe importante de fonctions elliptiques c'est-à-dire de fonctions méromorphes doublement périodiques. Toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci. Supposons que l'on souhaite fabriquer une telle fonction de période 1. On peut prendre une fonction quelconque, définie sur [0, 1] et telle que f(0) = f(1) et la prolonger convenablement. Un tel procédé a des limites. Par exemple, on obtiendra rarement des fonctions analytiques de cette façon.
Fonction elliptique de JacobiEn mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique. Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations sn et cn, qui rappellent sin et cos. Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.
J-invariantLe j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine. On travaille dans le . Soient quatre points distincts , leur birapport est : Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Nome (mathematics)In mathematics, specifically the theory of elliptic functions, the nome is a special function that belongs to the non-elementary functions. This function is of great importance in the description of the elliptic functions, especially in the description of the modular identity of the Jacobi theta function, the Hermite elliptic transcendents and the Weber modular functions, that are used for solving equations of higher degrees. The nome function is given by where and are the quarter periods, and and are the fundamental pair of periods, and is the half-period ratio.
Forme modulaireEn mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Intégrale elliptiqueLes intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...). Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme où est une fonction rationnelle à deux variables, est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et est une constante.
Modular lambda functionIn mathematics, the modular lambda function λ(τ) is a highly symmetric Holomorphic function on the complex upper half-plane. It is invariant under the fractional linear action of the congruence group Γ(2), and generates the function field of the corresponding quotient, i.e., it is a Hauptmodul for the modular curve X(2). Over any point τ, its value can be described as a cross ratio of the branch points of a ramified double cover of the projective line by the elliptic curve , where the map is defined as the quotient by the [−1] involution.
Théorème de Liouville (variable complexe)En analyse complexe, le théorème de Liouville est un résultat portant sur les fonctions entières (les fonctions holomorphes sur tout le plan complexe). Alors qu'il existe un grand nombre de fonctions infiniment dérivables et bornées sur la droite réelle, le théorème de Liouville affirme que toute fonction entière bornée est constante. Ce théorème est dû à Cauchy. Ce détournement est l'œuvre d'un élève de Liouville qui prit connaissance de ce théorème aux cours lus par ce dernier.
Fonction de plusieurs variables complexesLa théorie des fonctions de plusieurs variables complexes est une branche des mathématiques traitant des fonctions à variables complexes. On définit de cette manière une fonction de Cn dans C, dont on peut noter les variables . L'analyse complexe correspond au cas . H. Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris, 1961. C. Laurent-Thiébaut : Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. EDP Sciences, 1997. V.S.
Fonction lemniscatiqueEn mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont g2 = 1 et g3 = 0.
Fonction elliptiquevignette|Fonctions elliptiques lemniscates et ellipse. En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période).
Moyenne arithmético-géométriqueLa moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique. La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.
Q-symbole de PochhammerEn combinatoire, le q-symbole de Pochhammer est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des q-analogues. C'est le q-analogue du symbole de Pochhammer défini par Leo Pochhammer. Le q-symbole de Pochhammer est : avec On peut étendre la notation à des produits infinis : On note parfois , lorsqu'il est clair que la variable est q. Un grand nombre de séries génératrices représentant des partitions peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles.
Fonction spécialeL'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires, qui sont apparues au comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux et quatre. Comme leurs propriétés ont été étudiées extensivement (et continuent de l'être), on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations.
Formule sommatoire de PoissonLa formule sommatoire de Poisson (parfois appelée resommation de Poisson) est une identité entre deux sommes infinies, la première construite avec une fonction , la seconde avec sa transformée de Fourier . Ici, f est une fonction sur la droite réelle ou plus généralement sur un espace euclidien. La formule a été découverte par Siméon Denis Poisson. Elle, et ses généralisations, sont importantes dans plusieurs domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l'analyse harmonique, et la géométrie riemannienne.
Variété abélienneEn mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique. Une variété abélienne sur un corps k est un groupe algébrique A sur k, dont la variété algébrique sous-jacente est projective, connexe et géométriquement réduite.
Réseau de LeechLe réseau de Leech est un réseau remarquable dans l'espace euclidien de dimension 24. Il est relié au code de Golay. Ernst Witt le découvre en 1940 mais ne publie pas cette découverte qui sera finalement attribuée à John Leech en 1965. Le réseau de Leech est caractérisé comme étant le seul pair en dimension 24 qui ne contient pas de racines, c'est-à-dire de vecteur v tel que (v,v)=2. Il a été construit par John Leech. Le groupe des automorphismes du réseau de Leech est le groupe de Conway Co0. Il y a exactement 24 .
Série de LambertEn mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur : où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de (a) avec la fonction constante 1(n) = 1 : La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple : la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératri
Congruence subgroupIn mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example would be invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1, in which the off-diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer.
