Forme modulaireEn mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Partition function (number theory)In number theory, the partition function p(n) represents the number of possible partitions of a non-negative integer n. For instance, p(4) = 5 because the integer 4 has the five partitions 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2, and 4. No closed-form expression for the partition function is known, but it has both asymptotic expansions that accurately approximate it and recurrence relations by which it can be calculated exactly. It grows as an exponential function of the square root of its argument.
Partition d'un entierEn mathématiques, une partition d'un entier (parfois aussi appelée partage d'un entier) est une décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs (appelés parties ou sommants), à l'ordre près des termes (à la différence du problème de composition tenant compte de l'ordre des termes). Une telle partition est en général représentée par la suite des termes de la somme, rangés par ordre décroissant. Elle est visualisée à l'aide de son diagramme de Ferrers, qui met en évidence la notion de partition duale ou conjuguée.
Mathématiques indiennesLa chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne. Parmi les contributions des mathématiciens indiens au développement de la discipline, la plus féconde est certainement la numération décimale de position, appuyée sur des chiffres indiens, empruntés par les Arabes et qui se sont imposés dans le monde entier. Les Indiens ont maîtrisé le zéro, les nombres négatifs, les fonctions trigonométriques.
Forme quadratiquethumb|L'annulation d'une forme quadratique donne le cône de lumière de la relativité restreinte, son signe fait la différence entre les événements accessibles ou inaccessibles dans l'espace-temps. En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données respectivement par les formules suivantes (a,b,c,d,e,f désignant des coefficients) : L'archétype de forme quadratique est la forme x + y + z sur R, qui définit la structure euclidienne et dont la racine carrée permet de calculer la norme d'un vecteur.
Godfrey Harold HardyGodfrey Harold Hardy est un mathématicien britannique, né le à Cranleigh (comté de Surrey) et mort le à Cambridge. Il est lauréat de la médaille Sylvester en 1940 et de la médaille Copley en 1947 ; il est connu pour ses travaux en théorie des nombres et en analyse.
Dernier théorème de FermatEn mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit : Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994.
Fonction hypergéométriquevignette|Graphe d'une fonction hypergéométrique dans le plan complexe. En mathématiques, le terme de fonction hypergéométrique, parfois sous le nom « fonction hypergéométrique de Gauss », désigne généralement une fonction spéciale particulière, dépendant de trois paramètres a, b, c, notée F(a, b, c ; z), parfois notée sans indice quand il n'y a pas d'ambigüité, et qui s'exprime sous la forme de la série hypergéométrique (lorsque celle-ci converge).
Quadrature du cerclevignette|Le carré de côté a la même aire que le cercle de rayon 1. La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un disque donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir Nombre constructible). La quadrature du cercle nécessiterait la construction à la règle et au compas de la racine carrée du nombre π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π.
Modular lambda functionIn mathematics, the modular lambda function λ(τ) is a highly symmetric Holomorphic function on the complex upper half-plane. It is invariant under the fractional linear action of the congruence group Γ(2), and generates the function field of the corresponding quotient, i.e., it is a Hauptmodul for the modular curve X(2). Over any point τ, its value can be described as a cross ratio of the branch points of a ramified double cover of the projective line by the elliptic curve , where the map is defined as the quotient by the [−1] involution.
J-invariantLe j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine. On travaille dans le . Soient quatre points distincts , leur birapport est : Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Opérateur de HeckeEn mathématiques, en particulier dans la théorie des formes modulaires, un opérateur de Hecke, étudié par Erich Hecke, est un certain type d'opérateur de « moyennage » qui joue un rôle important dans la structure des espaces vectoriels de formes modulaires et de représentations automorphes plus générales. Mordell (1917) a utilisé les opérateurs de Hecke sur les formes modulaires dans un article sur les formes paraboliques spéciales de Ramanujan, bien avant la théorie générale développée par Hecke (1937a, 1937b).
Conjecture de RamanujanEn mathématiques, la conjecture de Ramanujan, due à Srinivasa Ramanujan (et démontrée par Pierre Deligne en 1973), prédit certaines propriétés arithmétiques ainsi que le comportement asymptotique de la fonction tau qu'il a définie. La conjecture de Ramanujan généralisée, ou conjecture de Ramanujan-Petersson, introduite par Hans Petersson en 1930, en est une généralisation à d'autres formes modulaires ou automorphes.
Forme paraboliqueEn mathématiques, une forme parabolique (parfois appelée forme cuspidale, selon l'anglais cusp form) est une forme modulaire vérifiant des conditions d'annulation aux pointes. La parabole est une des trois coniques (avec l'hyperbole, et l'ellipse dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier) découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu'intersection d'un cône par un plan (du grec kônos). vignette|302x302px|Équation réduite y2 = 2px, paramètre de la parabole Nom de la fonction associée : trinôme du second degré.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente. La n-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire : La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini. Bien que cette série ne possède donc a priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants (en particulier, diverses méthodes de sommation lui donnent la valeur -1/12), dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir.
Fonction zêta de Riemannvignette|upright=2|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros. vignette|upright=2|Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.
