Espace normalvignette|Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F. En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal. Soit X un espace topologique.
Espace localement compactEn topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.
Espace de LindelöfEn mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable. Cette condition est un affaiblissement de la quasi-compacité, dans laquelle on demande l'existence de sous-recouvrements finis. Un espace est dit héréditairement de Lindelöf si tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. Il suffit pour cela que ses ouverts le soient. Les espaces de Lindelöf sont nommés d'après le mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf.
Espace à base dénombrableEn mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La plupart des espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable. Tout espace à base dénombrable est à la fois séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf (en particulier, pour un espace à base dénombrable, les trois propriétés quasi-compact/dénombrablement compact/séquentiellement compact sont équivalentes).
Droite de SorgenfreyEn mathématiques, la droite de Sorgenfrey — souvent notée S — est la droite réelle R munie de la topologie (plus fine que la topologie usuelle) dont une base est constituée des intervalles semi-ouverts de la forme [a, b[ (pour a et b réels tels que a < b). Robert Sorgenfrey l'a définie pour démontrer que le produit de deux espaces paracompacts n'est pas toujours paracompact ; c'est aussi un exemple simple d'espace normal dont le carré n'est pas normal.
Espace métrisableIn topology and related areas of mathematics, a metrizable space is a topological space that is homeomorphic to a metric space. That is, a topological space is said to be metrizable if there is a metric such that the topology induced by is Metrization theorems are theorems that give sufficient conditions for a topological space to be metrizable. Metrizable spaces inherit all topological properties from metric spaces. For example, they are Hausdorff paracompact spaces (and hence normal and Tychonoff) and first-countable.
Variété topologiqueEn topologie, une variété topologique est un espace topologique, éventuellement séparé, assimilable localement à un espace euclidien. Les variétés topologiques constituent une classe importante des espaces topologiques, avec des applications à tous les domaines des mathématiques. Le terme variété peut désigner une variété topologique, ou, le plus souvent, une variété topologique munie d'une autre structure. Par exemple, une variété différentielle est une variété topologique munie d'une structure permettant le calcul différentiel.
Recouvrement (mathématiques)Un recouvrement d'un ensemble E est une famille (X) d'ensembles dont l'union contient E, c'est-à-dire telle que tout élément de E appartient à au moins l'un des X. Certains auteurs imposent de plus que les X soient des sous-ensembles de E. Dans ce cas, les X forment un recouvrement de E (si et) seulement si leur union est égale à E, et une partition de E s'ils sont de plus non vides et deux à deux disjoints. Par exemple, pour E = {1, 2, 3, 4}, la famille (∅, {1, 2, 3}, {3, 4}) n'est qu'un recouvrement alors que ({1, 2}, {3, 4}) est une partition.
Espace séparableEn mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier. espace à base dénombrable Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais : Tout espace pseudométrisable séparable est à base dénombrable.Beaucoup d'espaces usuels sont de ce type.
Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Topologie de la droite réellethumb|Richard Dedekind (1831 - 1916) a défini rigoureusement les nombres réels et posé les bases de leur étude topologique. La topologie de la droite réelle (ou topologie usuelle de R) est une structure mathématique qui donne, pour l'ensemble des nombres réels, des définitions précises aux notions de limite et de continuité. Historiquement, ces notions se sont développées autour de la notion de nombre (approcher des nombres comme la racine carrée de deux ou pi par d'autres plus « maniables ») et de la géométrie de la droite (à laquelle l'espace topologique des nombres réels peut être assimilé), du plan et de l'espace usuels.
Longue droiteLa longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ». En tant qu'ensemble ordonné, la longue droite, L, est le produit lexicographique du premier ordinal non dénombrable ω1 par l'ensemble des réels positifs ou nuls. En tant qu'espace topologique, c'est cet ensemble (totalement) ordonné muni de la topologie de l'ordre (les intervalles ouverts forment une base de la topologie). Cet espace topologique est une variété topologique à bord non séparable.
Axiome de séparation (topologie)En topologie, un axiome de séparation est une propriété satisfaite par certains espaces topologiques, similaire à la propriété de séparation de Hausdorff (dite aussi T2), et concernant la séparation de points ou de fermés, du point de vue soit de voisinages, soit de fonctions continues réelles. Divers axiomes de séparation peuvent être ordonnés par implication, notamment ceux de la série des axiomes codés par la lettre « T » et un indice numérique, ces axiomes étant en général d'autant plus restrictifs que les indices sont élevés et les topologies correspondantes plus fines.
Topologie de SierpińskiIn mathematics, the Sierpiński space (or the connected two-point set) is a finite topological space with two points, only one of which is closed. It is the smallest example of a topological space which is neither trivial nor discrete. It is named after Wacław Sierpiński. The Sierpiński space has important relations to the theory of computation and semantics, because it is the classifying space for open sets in the Scott topology.
Topologie discrèteEn mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie discrète sur un ensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres. Soit X un ensemble. L'ensemble des parties de X définit une topologie sur X appelée topologie discrète. X muni de cette topologie est alors appelé espace discret. On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est un ensemble discret lorsque la topologie induite sur A est la topologie discrète.
Topologie grossièreEn mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble X est la topologie sur X dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X. Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble ; intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.
Dimension topologiqueEn mathématiques, une dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces topologiques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel. C'est un invariant topologique, entier ou infini. Les trois principales dimensions topologiques sont les deux dimensions inductives ind et Ind et la dimension de recouvrement dim. Les dimensions Ind et dim coïncident pour tout espace métrisable ; si l'espace est de plus séparable, ses trois dimensions topologiques sont égales.
Locally finite collectionA collection of subsets of a topological space is said to be locally finite if each point in the space has a neighbourhood that intersects only finitely many of the sets in the collection. In the mathematical field of topology, local finiteness is a property of collections of subsets of a topological space. It is fundamental in the study of paracompactness and topological dimension. Note that the term locally finite has different meanings in other mathematical fields. A finite collection of subsets of a topological space is locally finite.
Baire spaceIn mathematics, a topological space is said to be a Baire space if countable unions of closed sets with empty interior also have empty interior. According to the , compact Hausdorff spaces and complete metric spaces are examples of Baire spaces. The Baire category theorem combined with the properties of Baire spaces has numerous applications in topology, geometry, analysis, in particular functional analysis. For more motivation and applications, see the article .
Metacompact spaceIn the mathematical field of general topology, a topological space is said to be metacompact if every open cover has a point-finite open refinement. That is, given any open cover of the topological space, there is a refinement that is again an open cover with the property that every point is contained only in finitely many sets of the refining cover. A space is countably metacompact if every countable open cover has a point-finite open refinement.
