Groupe classiqueEn mathématiques, les groupes classiques sont différentes familles de groupes de transformations liées à l'algèbre linéaire, principalement les groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques et unitaires. Ces groupes peuvent aussi être présentés comme groupes de matrices inversibles, et des quotients de ceux-ci. Les groupes matrices carrées d'ordre n (GL(n, R)), GL(n, C)), le groupe des matrices orthogonales d'ordre n (O(n)) et le groupe des matrices unitaires d'ordre n (U(n)) sont des exemples explicites de groupes classiques.
MorphismeEn mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Ordre (théorie des groupes)En théorie des groupes, une branche des mathématiques, le terme ordre est utilisé dans deux sens intimement liés : L'ordre d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. Le groupe est dit fini ou infini suivant que son ordre est fini ou infini. Si un élément a d'un groupe G engendre dans G un sous-groupe (monogène) fini d'ordre d, on dit que a est d'ordre fini et, plus précisément, d'ordre d. Si le sous-groupe engendré par a est infini, on dit que a est d'ordre infini.
Outer automorphism groupIn mathematics, the outer automorphism group of a group, G, is the quotient, Aut(G) / Inn(G), where Aut(G) is the automorphism group of G and Inn(G) is the subgroup consisting of inner automorphisms. The outer automorphism group is usually denoted Out(G). If Out(G) is trivial and G has a trivial center, then G is said to be complete. An automorphism of a group that is not inner is called an outer automorphism. The cosets of Inn(G) with respect to outer automorphisms are then the elements of Out(G); this is an instance of the fact that quotients of groups are not, in general, (isomorphic to) subgroups.
Multiplicative group of integers modulo nIn modular arithmetic, the integers coprime (relatively prime) to n from the set of n non-negative integers form a group under multiplication modulo n, called the multiplicative group of integers modulo n. Equivalently, the elements of this group can be thought of as the congruence classes, also known as residues modulo n, that are coprime to n. Hence another name is the group of primitive residue classes modulo n. In the theory of rings, a branch of abstract algebra, it is described as the group of units of the ring of integers modulo n.
Groupe général linéaireEn mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GL(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel K. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski.
AutomorphismeUn automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique X dans lui-même. Le plus souvent, c'est une bijection de X dans X qui préserve la « structure » de X. On peut le voir comme une symétrie de X. Les automorphismes de X forment un groupe. La définition abstraite d'un automorphisme est la suivante : c'est un endomorphisme qui est en même temps un isomorphisme. Autrement dit, c'est un morphisme d'un objet X d'une catégorie donnée dans lui-même, qui est également un isomorphisme.
Automorphisme intérieurUn automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes. Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par : Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre.
Module homomorphismIn algebra, a module homomorphism is a function between modules that preserves the module structures. Explicitly, if M and N are left modules over a ring R, then a function is called an R-module homomorphism or an R-linear map if for any x, y in M and r in R, In other words, f is a group homomorphism (for the underlying additive groups) that commutes with scalar multiplication. If M, N are right R-modules, then the second condition is replaced with The of the zero element under f is called the kernel of f.
HomomorphismIn algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).
Centre d'un groupeEn théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres. Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre Z est Dans G, Z est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique. Tout sous-groupe de Z est sous-groupe normal de G. Z est abélien. Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : Z = G. Le centre du groupe alterné A est trivial pour n ≥ 4.
Principal homogeneous spaceIn mathematics, a principal homogeneous space, or torsor, for a group G is a homogeneous space X for G in which the stabilizer subgroup of every point is trivial. Equivalently, a principal homogeneous space for a group G is a non-empty set X on which G acts freely and transitively (meaning that, for any x, y in X, there exists a unique g in G such that x·g = y, where · denotes the (right) action of G on X).
Groupe symétriqueEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, .
Groupe de KleinEn mathématiques, le groupe de Klein est, à isomorphisme près, l'un des deux groupes à quatre éléments, l'autre étant le groupe cyclique ; c'est le plus petit groupe non cyclique. Il porte le nom du mathématicien allemand Felix Klein, qui en 1884 le désignait par « Vierergruppe » (groupe de quatre) dans son « cours sur l'icosaèdre et la résolution des équations du cinquième degré ». Le groupe de Klein est entièrement défini par le fait que les trois éléments différents de l'élément neutre e ont un ordre égal à 2 (ils sont involutifs), et que le produit de deux distincts d'entre eux est égal au troisième.
Projective linear groupIn mathematics, especially in the group theoretic area of algebra, the projective linear group (also known as the projective general linear group or PGL) is the induced action of the general linear group of a vector space V on the associated projective space P(V). Explicitly, the projective linear group is the quotient group PGL(V) = GL(V)/Z(V) where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V; these are quotiented out because they act trivially on the projective space and they form the kernel of the action, and the notation "Z" reflects that the scalar transformations form the center of the general linear group.
Catégorie des anneauxEn mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire. La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi : Les objets sont les anneaux ; Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné. La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing.
Théorie des représentationsLa théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
Catégorie des groupesEn mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes. La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante : Ses objets sont les groupes ; Les morphismes sont les morphismes de groupes, munis de la composition usuelle de fonctions, l'identité étant l'application identité. En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même.
Groupe de symétrieLe groupe de symétrie, ou groupe des isométries, d'un objet (, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
