Semisimple Lie algebraIn mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Groupe compactEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts. Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
F4 (mathématiques)En mathématiques, F4 est un groupe de Lie exceptionnel de type complexe. Son algèbre de Lie est notée . F4 est de rang 4 et de dimension 52. Sa forme compacte est simplement connexe et son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 26. La forme compacte réelle de F4 est le groupe d'isométries d'une variété riemannienne de dimension 16, connu également sous le nom de plan projectif octonionique, OP2, ou plan de Cayley.
E6 (mathématiques)En mathématiques, E6 est le nom d'un groupe de Lie ; son algèbre de Lie est notée . Il s'agit de l'un des cinq groupes de Lie complexes de type exceptionnel. E6 est de rang 6 et de dimension 78. Le groupe fondamental de sa forme compacte est le groupe cyclique Z3 et son groupe d'automorphismes est le groupe cyclique Z2. Sa représentation fondamentale est de dimension complexe 27. Sa représentation duale est également de dimension 27. Une certaine forme non compacte réelle de E6 est le groupe des collinéations du plan projectif octonionique OP2, ou plan de Cayley.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
E8 latticeIn mathematics, the E_8 lattice is a special lattice in R^8. It can be characterized as the unique positive-definite, even, unimodular lattice of rank 8. The name derives from the fact that it is the root lattice of the E_8 root system. The norm of the E_8 lattice (divided by 2) is a positive definite even unimodular quadratic form in 8 variables, and conversely such a quadratic form can be used to construct a positive-definite, even, unimodular lattice of rank 8. The existence of such a form was first shown by H.
Coxeter elementIn mathematics, the Coxeter number h is the order of a Coxeter element of an irreducible Coxeter group. It is named after H.S.M. Coxeter. Note that this article assumes a finite Coxeter group. For infinite Coxeter groups, there are multiple conjugacy classes of Coxeter elements, and they have infinite order. There are many different ways to define the Coxeter number h of an irreducible root system. A Coxeter element is a product of all simple reflections.
E7 (mathématiques)En mathématiques, E7 est le nom d'un groupe de Lie complexe de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée . E7 est de rang 7 et de dimension 133. Le groupe fondamental de sa forme compacte est le groupe cyclique Z2. sa représentation fondamentale est de dimension 56. La forme compacte réelle de E7 est le groupe d'isométries d'une variété riemannienne de dimension 64 appelée plan projectif quateroctionique. Ce nom vient du fait qu'il peut être construit en utilisant une algèbre qui est construite comme produit tensoriel des quaternions avec les octonions.
Dynkin diagramIn the mathematical field of Lie theory, a Dynkin diagram, named for Eugene Dynkin, is a type of graph with some edges doubled or tripled (drawn as a double or triple line). Dynkin diagrams arise in the classification of semisimple Lie algebras over algebraically closed fields, in the classification of Weyl groups and other finite reflection groups, and in other contexts. Various properties of the Dynkin diagram (such as whether it contains multiple edges, or its symmetries) correspond to important features of the associated Lie algebra.
Freudenthal magic squareIn mathematics, the Freudenthal magic square (or Freudenthal–Tits magic square) is a construction relating several Lie algebras (and their associated Lie groups). It is named after Hans Freudenthal and Jacques Tits, who developed the idea independently. It associates a Lie algebra to a pair of division algebras A, B. The resulting Lie algebras have Dynkin diagrams according to the table at right.
Système de racinesEn mathématiques, un système de racines est une configuration de vecteurs dans un espace euclidien qui vérifie certaines conditions géométriques. Cette notion est très importante dans la théorie des groupes de Lie. Comme les groupes de Lie et les groupes algébriques sont maintenant utilisés dans la plupart des parties des mathématiques, la nature apparemment spéciale des systèmes de racines est en contradiction avec le nombre d'endroits dans lesquels ils sont appliqués.
Tore maximalEn mathématiques, un tore maximal d'un groupe de Lie G est un sous-groupe de Lie commutatif, connexe et compact de G qui soit maximal pour ces propriétés. Les tores maximaux de G sont uniques à conjugaison près. De manière équivalente, c'est un de G, isomorphe à un tore, et maximal pour cette propriété. Le quotient du normalisateur N(T) d'un tore T par T est le groupe de Weyl associé. Tout groupe de Lie commutatif connexe est isomorphe à un quotient de Rn par un sous-réseau, donc à un tore Tn.
4 21 polytopeDISPLAYTITLE:4 21 polytope In 8-dimensional geometry, the 421 is a semiregular uniform 8-polytope, constructed within the symmetry of the E8 group. It was discovered by Thorold Gosset, published in his 1900 paper. He called it an 8-ic semi-regular figure. Its Coxeter symbol is 421, describing its bifurcating Coxeter-Dynkin diagram, with a single ring on the end of the 4-node sequences, . The rectified 421 is constructed by points at the mid-edges of the 421. The birectified 421 is constructed by points at the triangle face centers of the 421.
Théorie des supercordesthumb|Vue d'artiste de la théorie des supercordes. La théorie des supercordes est une tentative pour expliquer l'existence de toutes les particules et forces fondamentales de la nature, en les modélisant comme les vibrations de minuscules cordes supersymétriques. Au début du , elle est considérée comme la plus féconde des théories pour une gravité quantique, même si elle souffre des mêmes défauts que la théorie des cordes en raison de l'impossibilité de la vérifier par l'expérimentation.
Représentation fondamentaleIn representation theory of Lie groups and Lie algebras, a fundamental representation is an irreducible finite-dimensional representation of a semisimple Lie group or Lie algebra whose highest weight is a fundamental weight. For example, the defining module of a classical Lie group is a fundamental representation. Any finite-dimensional irreducible representation of a semisimple Lie group or Lie algebra can be constructed from the fundamental representations by a procedure due to Élie Cartan.
G2 (mathématiques)En mathématiques, G2 est le plus petit des groupes de Lie complexes de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée . G2 est de rang 2 et de dimension 14. Sa forme compacte est simplement connexe, et sa forme déployée a un groupe fondamental d'ordre 2. Son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 7. La forme compacte de G2 peut être décrite comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre octonionique. (1,−1,0),(−1,1,0) (1,0,−1),(−1,0,1) (0,1,−1),(0,−1,
Supergravitévignette|Vue d'artiste de la sonde gravitationnelle B en orbite autour de la Terre pour mesurer l'espace-temps, une description quadridimensionnelle de l'univers comprenant la hauteur, la largeur, la longueur et le temps. En physique théorique, une théorie de la supergravité est une théorie du champ de Maxwell qui combine la supersymétrie et la relativité générale. Les théories de supergravité possèdent une super-symétrie locale, c'est-à-dire qu'elles sont invariantes par une transformation de supersymétrie dont les paramètres dépendent de la position dans l'espace.
Réseau (géométrie)En mathématiques, un réseau d'un espace (vectoriel) euclidien est un sous-groupe discret de l’espace, de rang fini n. Par exemple, les vecteurs de Rn à coordonnées entières dans une base forment un réseau de Rn. Cette notion permet de décrire mathématiquement des maillages, comme celui correspondant à la figure 1. thumb|Fig. 1. Un réseau est un ensemble discret disposé dans un espace vectoriel réel de dimension finie de manière régulière, au sens où la différence de deux éléments du réseau est encore élément du réseau.
Cartan matrixIn mathematics, the term Cartan matrix has three meanings. All of these are named after the French mathematician Élie Cartan. Amusingly, the Cartan matrices in the context of Lie algebras were first investigated by Wilhelm Killing, whereas the Killing form is due to Cartan. A (symmetrizable) generalized Cartan matrix is a square matrix with integral entries such that For diagonal entries, . For non-diagonal entries, . if and only if can be written as , where is a diagonal matrix, and is a symmetric matrix.
