Nombre réelEn mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Duality (order theory)In the mathematical area of order theory, every partially ordered set P gives rise to a dual (or opposite) partially ordered set which is often denoted by Pop or Pd. This dual order Pop is defined to be the same set, but with the inverse order, i.e. x ≤ y holds in Pop if and only if y ≤ x holds in P. It is easy to see that this construction, which can be depicted by flipping the Hasse diagram for P upside down, will indeed yield a partially ordered set. In a broader sense, two partially ordered sets are also said to be duals if they are dually isomorphic, i.
Cyclic orderIn mathematics, a cyclic order is a way to arrange a set of objects in a circle. Unlike most structures in order theory, a cyclic order is not modeled as a binary relation, such as "a < b". One does not say that east is "more clockwise" than west. Instead, a cyclic order is defined as a ternary relation [a, b, c], meaning "after a, one reaches b before c". For example, [June, October, February], but not [June, February, October], cf. picture. A ternary relation is called a cyclic order if it is cyclic, asymmetric, transitive, and connected.
Ordre lexicographiqueEn mathématiques, un ordre lexicographique est un ordre que l'on définit sur les suites finies d'éléments d'un ensemble ordonné (ou, de façon équivalente, les mots construits sur un ensemble ordonné). Sa définition est une généralisation de l'ordre du dictionnaire : l'ensemble ordonné est l'alphabet, les mots sont bien des suites finies de lettres de l'alphabet. La principale propriété de l'ordre lexicographique est de conserver la totalité de l'ordre initial.
Élément maximalDans un ensemble ordonné, un élément maximal est un élément tel qu'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur, c'est-à-dire que a est dit élément maximal d'un ensemble ordonné (E, ≤) si a est un élément de E tel que : De même, a est un élément minimal de E si : Pour tout élément a de E, on a les équivalences et l'implication (stricte) : a est un majorant de E ⇔ a est la borne supérieure de E ⇔ a est l'élément maximum (ou « plus grand élément ») de E ⇒ a est l'unique élément maxima
PréordreEn mathématiques, un préordre est une relation binaire réflexive et transitive. C'est-à-dire que si E est un ensemble, une relation binaire sur E est un préordre lorsque : (réflexivité) ; (transitivité). Un ensemble préordonné est un ensemble muni d'un préordre, ou plus formellement un couple où désigne un ensemble et un préordre sur . Les ordres sont les préordres antisymétriques. Les relations d'équivalence sont les préordres symétriques. Dans un anneau commutatif, la relation « divise » est une relation de préordre.
Majorant ou minorantEn mathématiques, soient (E , ≤) un ensemble ordonné et F une partie de E ; un élément x de E est : un majorant de F s'il est supérieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F : ; un minorant de F s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F :. Si F possède un majorant x alors on dit que F est une partie majorée. Si F possède un minorant x alors on dit que F est une partie minorée.
Completeness (order theory)In the mathematical area of order theory, completeness properties assert the existence of certain infima or suprema of a given partially ordered set (poset). The most familiar example is the completeness of the real numbers. A special use of the term refers to complete partial orders or complete lattices. However, many other interesting notions of completeness exist. The motivation for considering completeness properties derives from the great importance of suprema (least upper bounds, joins, "") and infima (greatest lower bounds, meets, "") to the theory of partial orders.
Ensemble ordonné filtrantEn mathématiques, un ensemble ordonné filtrant est un ensemble ordonné (c'est-à-dire dans lequel on peut dire que certains éléments sont plus grands que d'autres) tel que pour toute paire d'éléments, il existe un élément qui est plus grand que chaque élément de la paire. Cela sous-entend en premier lieu que ce troisième élément peut être comparé aux deux premiers, ce qui n'est pas automatique dans un ensemble ordonné (implicitement partiellement ordonné, par opposition à totalement ordonné).
Complete latticeIn mathematics, a complete lattice is a partially ordered set in which all subsets have both a supremum (join) and an infimum (meet). A lattice which satisfies at least one of these properties is known as a conditionally complete lattice. Specifically, every non-empty finite lattice is complete. Complete lattices appear in many applications in mathematics and computer science. Being a special instance of lattices, they are studied both in order theory and universal algebra.
Order theoryOrder theory is a branch of mathematics that investigates the intuitive notion of order using binary relations. It provides a formal framework for describing statements such as "this is less than that" or "this precedes that". This article introduces the field and provides basic definitions. A list of order-theoretic terms can be found in the order theory glossary. Orders are everywhere in mathematics and related fields like computer science. The first order often discussed in primary school is the standard order on the natural numbers e.
Ensemble bien ordonnéEn mathématiques, un ensemble ordonné (E, ≤) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. Formellement cela donne ∀X⊆E, X≠∅ ⇒ (∃u∈X, ∀v∈X u≤v). Si (E, ≤) est bien ordonné alors ≤ est nécessairement un ordre total, c'est-à-dire que deux éléments quelconques x et y de E sont toujours comparables. En effet, l'ensemble { x, y } possède un plus petit élément, donc on a x ≤ y ou y ≤ x.
Diagramme de HasseEn mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension. Dans un diagramme de Hasse : Les éléments ordonnés sont représentés par des points. La relation entre deux éléments est représentée par un segment entre deux points. Si un élément x est ≤ à un autre élément y, alors le point représentant x est placé plus bas que celui pour y.
Nombre rationnelUn nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul. Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme . Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes sous forme de fraction, par exemple ...
Gras de tableau noirvignette|Un exemple de lettres en gras de tableau noir. Le gras de tableau noir ou du tableau noir, ou encore lettres ajourées ou lettres double barre ou blackboard gras, est un style de fonte de caractères où l’on retrouve certaines lettres avec une barre, oblique ou verticale, en double. Elle est régulièrement utilisée dans les textes de mathématiques et de physique. Les symboles décrivent généralement des ensembles de nombres. TeX, le logiciel le plus utilisé pour produire des textes mathématiques, ne possède pas cette fonte de caractères, mais l'AMS fournit le jeu de caractères.
