Construction à la règle et au compasEuclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle (non graduée) et du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou « obtenu », à l'aide de ces deux instruments.
Corps commutatifvignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.
Trisection de l'angleLa trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas. Sous cette forme, le problème (comme les deux autres) n'a pas de solution, ce qui fut démontré par Pierre-Laurent Wantzel en 1837.
Nombre d'orvignette|upright=1.2|La proportion définie par a et b est dite d'« extrême et moyenne raison » lorsque a est à b ce que est à a, soit : lorsque Le rapport a/b est alors égal au nombre d'or (phi). Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : avec Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ».
Quadrature du cerclevignette|Le carré de côté a la même aire que le cercle de rayon 1. La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un disque donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir Nombre constructible). La quadrature du cercle nécessiterait la construction à la règle et au compas de la racine carrée du nombre π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π.
Identité trigonométriqueUne identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes. Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement.
Constructible polygonIn mathematics, a constructible polygon is a regular polygon that can be constructed with compass and straightedge. For example, a regular pentagon is constructible with compass and straightedge while a regular heptagon is not. There are infinitely many constructible polygons, but only 31 with an odd number of sides are known. Some regular polygons are easy to construct with compass and straightedge; others are not.
NombreUn nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.
HeptagoneUn heptagone est un polygone à sept sommets, donc sept côtés et quatorze diagonales. La somme des angles internes d'un heptagone non croisé vaut . Un heptagone régulier est un heptagone dont tous les côtés sont égaux et dont tous les angles internes sont égaux. Il y en a trois : deux étoilés (les heptagrammes réguliers) et un convexe. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'heptagone régulier ». L'heptagone régulier est le plus petit des polygones réguliers non constructibles à la règle et au compas.
Duplication du cubevignette|upright=1.2|Un cube de volume unitaire (gauche) et un cube de volume 2 (droite).À partir de la figure de gauche, il est impossible de construire par les moyens géométriques traditionnels le cube de droite.|alt=croquis de 2 cubes En mathématiques, la duplication du cube, ou problème de Délos, est un problème géométrique classique faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Il consiste à construire à la règle et au compas un cube de volume double de celui d'un cube donné.
Mathématiques des origamisLes pliages d'origamis sont utilisés en mathématiques pour procéder à des constructions géométriques. Selon les méthodes de pliages utilisées, on obtient des procédés plus riches que ceux propres à la règle et au compas. Le formalisme auquel il est le plus souvent fait référence est celui de Huzita. Il contient 6 axiomes qui sont en fait les 6 pliages de base permettant de décomposer n'importe quel origami. En voici la liste : Huzita axiom 1.png |'''Axiome 1.''' Un unique pli passe par deux points p_1 et p_2 spécifiés.
Pivignette|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π. π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10 près est en écriture décimale.
Polygone régulierEn géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé. Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé de n côtés a une enveloppe convexe de n côtés, qui est un polygone régulier. Un entier n supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de n côtés.
Nombre réel calculablevignette|π est calculable avec un précision arbitraire alors que presque tous les nombres réels sont non calculables. En informatique et algorithmique, un nombre réel calculable est un réel pour lequel il existe un algorithme ou une machine de Turing permettant d'énumérer la suite de ses chiffres (éventuellement infinie), ou plus généralement des symboles de son écriture sous forme de chaîne de caractères. De manière plus générale, et équivalente, un nombre réel est calculable si on peut en calculer une approximation aussi précise que l'on veut, avec une précision connue.
NeusisLa neusis (du grec ancien νεῦσις venant de νεύειν neuein « pencher vers »; pluriel : νεύσεις neuseis) est une méthode de construction géométrique utilisée dans l'Antiquité par les mathématiciens grecs dans des cas où les constructions à la règle et au compas étaient impossibles. La construction par neusis consiste à placer un segment de longueur fixée a entre deux courbes données l et m, de telle sorte que la droite support du segment passe par un point fixé P.
Nombre transcendantEn mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucun polynôme non nuloù n est un entier naturel et les coefficients a sont des rationnels non tous nuls, ou encore (en multipliant ces n + 1 rationnels par un dénominateur commun) qui n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique. Comme tout nombre rationnel est algébrique, tout nombre transcendant est donc un nombre irrationnel.
Casus irreducibilisEn algèbre, le casus irreducibilis (latin pour « cas irréductible ») désigne un cas apparaissant lors de la recherche des racines réelles d'un polynôme à coefficients entiers de degré 3 ou plus : c'est celui où les racines ne peuvent s'exprimer à l'aide de radicaux réels. Le casus irreducibilis le plus connu est celui des polynômes de degré 3 irréductibles dans les rationnels (impossibles à factoriser en polynômes de degré moindre) ayant trois racines réelles, cas qui a été prouvé par Pierre Wantzel en 1843.
AlgèbreL'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
Racine carrée de deuxLa racine carrée de deux, notée (ou parfois 2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit × = 2. C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10 près est : ≈ 1,414 213 562. vignette|L’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut . Le calcul d’une valeur approchée de a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées.
Definable real numberInformally, a definable real number is a real number that can be uniquely specified by its description. The description may be expressed as a construction or as a formula of a formal language. For example, the positive square root of 2, , can be defined as the unique positive solution to the equation , and it can be constructed with a compass and straightedge. Different choices of a formal language or its interpretation give rise to different notions of definability.
