LogiqueLa logique — du grec , qui est un terme dérivé de signifiant à la fois « raison », « langage » et « raisonnement » — est, dans une première approche, l'étude de l'inférence, c'est-à-dire des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Le terme aurait été utilisé pour la première fois par Xénocrate. La logique antique se décompose d'abord en dialectique et rhétorique. Elle est depuis l'Antiquité l'une des grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique (philosophie morale) et la physique (science de la nature).
Théorie axiomatiqueQuand on parle de théorie mathématique, on fait référence à une somme d'énoncés, de définitions, de méthodes de preuve, etc. La théorie de la calculabilité en est un exemple. Par théorie axiomatique, on fait référence à quelque chose de plus précis, des axiomes et leurs conséquences, les théorèmes, énoncés dans un langage précis. Dans la suite on dira le plus souvent théorie pour théorie axiomatique, ce qui est d'usage courant en logique mathématique.
Arithmétique de PresburgerEn logique mathématique, l'arithmétique de Presburger est la théorie du premier ordre des nombres entiers naturels munis de l'addition. Elle a été introduite en 1929 par Mojżesz Presburger. Il s'agit de l'arithmétique de Peano sans la multiplication, c’est-à-dire avec seulement l'addition, en plus du zéro et de l'opération successeur. Contrairement à l'arithmétique de Peano, l'arithmétique de Presburger est décidable. Cela signifie qu'il existe un algorithme qui détermine si un énoncé du langage de l'arithmétique de Presburger est démontrable à partir des axiomes de l'arithmétique de Presburger.
Undecidable problemIn computability theory and computational complexity theory, an undecidable problem is a decision problem for which it is proved to be impossible to construct an algorithm that always leads to a correct yes-or-no answer. The halting problem is an example: it can be proven that there is no algorithm that correctly determines whether arbitrary programs eventually halt when run. A decision problem is a question which, for every input in some infinite set of inputs, answers "yes" or "no"..
Théorie complèteEn logique mathématique, une théorie complète est une théorie qui est équivalente à un ensemble maximal cohérent de propositions ; ceci signifie qu'elle est cohérente et que toute extension propre ne l'est plus. Pour des théories logiques qui contiennent la logique propositionnelle classique, ceci équivaut à la condition que pour toute proposition φ du langage de la théorie, soit elle contient φ, soit elle contient sa négation ¬φ.
Corps réel closEn mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable. Les corps suivants sont réels clos : le corps des réels, le sous-corps des réels algébriques, le corps des réels calculables (au sens de Turing), le corps des , le corps des séries de Puiseux à coefficients réels, tout corps superréel (en particulier tout corps hyperréel).
Démonstration formelleUne démonstration formelle est une séquence finie de propositions (appelées formules bien formées dans le cas d'un langage formel) dont chacun est un axiome, une hypothèse, ou résulte des propositions précédentes dans la séquence par une règle d'inférence. La dernière proposition de la séquence est un théorème d'un système formel. La notion de théorème n'est en général pas effective, donc n'existe pas de méthode par laquelle nous pouvons à chaque fois trouver une démonstration d'une proposition donnée ou de déterminer s'il y en a une.
Effective methodIn logic, mathematics and computer science, especially metalogic and computability theory, an effective method or effective procedure is a procedure for solving a problem by any intuitively 'effective' means from a specific class. An effective method is sometimes also called a mechanical method or procedure. The definition of an effective method involves more than the method itself. In order for a method to be called effective, it must be considered with respect to a class of problems.
Élimination des quantificateursEn logique mathématique, ou plus précisément en théorie des modèles, l'élimination des quantificateurs est l'action consistant à trouver une formule sans quantificateur équivalente à une formule donnée contenant éventuellement des quantificateurs dans la théorie considérée d'un certain langage.
Second-order logicIn logic and mathematics, second-order logic is an extension of first-order logic, which itself is an extension of propositional logic. Second-order logic is in turn extended by higher-order logic and type theory. First-order logic quantifies only variables that range over individuals (elements of the domain of discourse); second-order logic, in addition, also quantifies over relations. For example, the second-order sentence says that for every formula P, and every individual x, either Px is true or not(Px) is true (this is the law of excluded middle).
Théorèmes d'incomplétude de GödelLes théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.
Déduction naturelleEn logique mathématique, la déduction naturelle est un système formel où les règles de déduction des démonstrations sont proches des façons naturelles de raisonner. C'est une étape importante de l'histoire de la théorie de la démonstration pour plusieurs raisons : contrairement aux systèmes à la Hilbert fondés sur des listes d'axiomes logiques plus ou moins ad hoc, la déduction naturelle repose sur un principe systématique de symétrie : pour chaque connecteur, on donne une paire de règles duales (introduction/élimination) ; elle a conduit Gentzen à inventer un autre formalisme très important en théorie de la démonstration, encore plus « symétrique » : le calcul des séquents ; elle a permis dans les années 1960 d'identifier la première instance de l'isomorphisme de Curry-Howard.
Computable functionComputable functions are the basic objects of study in computability theory. Computable functions are the formalized analogue of the intuitive notion of algorithms, in the sense that a function is computable if there exists an algorithm that can do the job of the function, i.e. given an input of the function domain it can return the corresponding output. Computable functions are used to discuss computability without referring to any concrete model of computation such as Turing machines or register machines.
Arithmétique de RobinsonL'arithmétique de Robinson introduite en 1950 par Raphael Robinson est une théorie du premier ordre pour l'arithmétique des entiers naturels, qui est finiment axiomatisable. Ses axiomes sont essentiellement ceux de l'arithmétique de Peano sans le schéma d'axiomes de récurrence. L'arithmétique de Robinson suffit pour le théorème d'incomplétude de Gödel-Rosser et pour le théorème de Church (indécidabilité du problème de la décision), au sens où l'arithmétique de Robinson, et même toute théorie axiomatique dans le langage de l'arithmétique qui est récursive et cohérente et qui a pour conséquence les axiomes de l'arithmétique de Robinson, est nécessairement incomplète et indécidable.
Problème de la décisionEn logique mathématique, on appelle problème de la décision ou, sous son nom d'origine en allemand, Entscheidungsproblem, le fait de déterminer de façon mécanique (par un algorithme) si un énoncé est un théorème de la logique égalitaire du premier ordre, c’est-à-dire s'il se dérive dans un système de déduction sans autres axiomes que ceux de l'égalité (exemples : système à la Hilbert, calcul des séquents, déduction naturelle).
Problème de décisionEn informatique théorique, un problème de décision est une question mathématique dont la réponse est soit « oui », soit « non ». Les logiciens s'y sont intéressés à cause de l'existence ou de la non-existence d'un algorithme répondant à la question posée. Les problèmes de décision interviennent dans deux domaines de la logique : la théorie de la calculabilité et la théorie de la complexité. Parmi les problèmes de décision citons par exemple le problème de l'arrêt, le problème de correspondance de Post ou le dernier théorème de Fermat.
Démonstration automatique de théorèmesLa démonstration automatique de théorèmes (DAT) est l'activité d'un logiciel qui démontre une proposition qu'on lui soumet, sans l'aide de l'utilisateur. Les démonstrateurs automatiques de théorème ont résolu des conjectures intéressantes difficiles à établir, certaines ayant échappé aux mathématiciens pendant longtemps ; c'est le cas, par exemple, de la , démontrée en 1996 par le logiciel EQP.
Sémantique de KripkeEn logique mathématique, la sémantique de Kripke est une sémantique formelle utilisée pour les logiques non-classiques comme la logique intuitionniste et certaines logiques modales. Elle a été développée à la fin des années 1950 et début des années 1960 par Saul Kripke et est fondée sur la théorie des mondes possibles. Un cadre de Kripke est un couple (W, R), où W est un ensemble de mondes appelés parfois mondes possibles et où R est une relation binaire sur W. L'ensemble W s'appelle parfois l'univers des mondes possibles.
Logique d'ordre supérieurLes logiques d'ordre supérieur (en anglais, higher-order logic ou HOL) sont des logiques formelles permettant d'utiliser des variables qui réfèrent à des fonctions ou à des prédicats. Elles étendent le calcul des prédicats. Cela revient à dire que l'on considère les fonctions et prédicats comme des objets de base à part entière, au même titre que, par exemple, un nombre entier. On s'autorisera ainsi, d'une part, à quantifier les prédicats et les fonctions et, d'autre part, à donner des fonctions ou des prédicats en arguments à d'autres fonctions ou prédicats.
