Torsion (algèbre)En algèbre, dans un groupe, un élément est dit de torsion s'il est d'ordre fini, c'est-à-dire si l'une de ses puissances non nulle est l'élément neutre. La torsion d'un groupe est l'ensemble de ses éléments de torsion. Un groupe est dit sans torsion si sa torsion ne contient que le neutre, c'est-à-dire si tout élément différent du neutre est d'ordre infini. Si le groupe est abélien, sa torsion est un sous-groupe. Par exemple, le sous-groupe de torsion du groupe abélien est .
GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Torsion subgroupIn the theory of abelian groups, the torsion subgroup AT of an abelian group A is the subgroup of A consisting of all elements that have finite order (the torsion elements of A). An abelian group A is called a torsion group (or periodic group) if every element of A has finite order and is called torsion-free if every element of A except the identity is of infinite order. The proof that AT is closed under the group operation relies on the commutativity of the operation (see examples section).
Transformation de NielsenEn mathématiques, et notamment dans le domaine de l'algèbre, les transformations de Nielsen sont un outil important dans la théorie combinatoire des groupes. Ce sont certains automorphismes d'un groupe libre et elles sont très utiles dans l'étude des groupes libres. Elles portent le nom du mathématicien danois Jakob Nielsen, qui les a introduites en 1921 pour prouver que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre (le théorème de Nielsen-Schreier), et elles sont maintenant utilisées dans une variété de domaines mathématiques.
Torsion groupIn group theory, a branch of mathematics, a torsion group or a periodic group is a group in which every element has finite order. The exponent of such a group, if it exists, is the least common multiple of the orders of the elements. For example, it follows from Lagrange's theorem that every finite group is periodic and it has an exponent dividing its order. Examples of infinite periodic groups include the additive group of the ring of polynomials over a finite field, and the quotient group of the rationals by the integers, as well as their direct summands, the Prüfer groups.
Examples of groupsSome elementary examples of groups in mathematics are given on Group (mathematics). Further examples are listed here. Dihedral group of order 6 Consider three colored blocks (red, green, and blue), initially placed in the order RGB. Let a be the operation "swap the first block and the second block", and b be the operation "swap the second block and the third block". We can write xy for the operation "first do y, then do x"; so that ab is the operation RGB → RBG → BRG, which could be described as "move the first two blocks one position to the right and put the third block into the first position".
Groupe nilpotentEn théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires. Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.
Graphe de CayleyEn mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes. Étant donné un groupe et une partie génératrice de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit : À chaque élément de , on associe un sommet . À chaque élément de , on associe une couleur . Pour tout et , on trace une arête orientée de couleur du sommet vers le sommet .
Présentation d'un groupeEn théorie des groupes, un groupe peut se définir par une présentation, autrement dit, la donnée d'un ensemble de générateurs et d'un ensemble de relations que ceux-ci vérifient. La possibilité d'une telle définition découle de ce que tout groupe est quotient d'un groupe libre. En général, une présentation d'un groupe G se note en écrivant entre crochets une liste de lettres et une liste minimale de mots sur cet alphabet, chaque mot étant censé valoir 1 dans le groupe et aucune relation n'existant entre les lettres, hormis celles-là et leurs conséquences.
Problème du mot pour les groupesEn mathématiques, plus précisément dans le domaine de la théorie combinatoire des groupes, le problème du mot pour un groupe de type fini G est le problème algorithmique de décider si deux mots en les générateurs du groupe représentent le même élément. Plus précisément, si X un ensemble fini de générateurs pour G, on considère le langage formel constitué des mots sur X et son ensemble d'inverses formels qui sont envoyés par l'application naturelle sur l'identité du groupe G.
Word (group theory)In group theory, a word is any written product of group elements and their inverses. For example, if x, y and z are elements of a group G, then xy, z−1xzz and y−1zxx−1yz−1 are words in the set {x, y, z}. Two different words may evaluate to the same value in G, or even in every group. Words play an important role in the theory of free groups and presentations, and are central objects of study in combinatorial group theory. Let G be a group, and let S be a subset of G. A word in S is any expression of the form where s1,.
Graphe des cyclesEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le graphe des cycles d'un groupe représente l'ensemble des cycles de ce groupe, ce qui est particulièrement utile pour visualiser la structure des petits groupes finis. Pour les groupes ayant moins de 16 éléments, le graphe des cycles détermine le groupe à isomorphisme près. Un cycle est l'ensemble des puissances d'un élément donné du groupe ; a, la n-ième puissance de l'élément a, est définie comme le produit de a par lui-même n fois (avec les conventions a = a et a = e, l'élément neutre du groupe).
Treillis des sous-groupesthumb|Diagramme de Hasse du treillis des sous-groupes du groupe diédral D. En mathématique, le treillis des sous-groupes d'un groupe G est le treillis constitué des sous-groupes de G, muni de l'inclusion comme relation d'ordre partielle. La borne supérieure de deux sous-groupes a et b est le sous-groupe engendré par l'union de a et b et leur borne inférieure est leur intersection. Le groupe diédral D des huit isométries du carré contient dix sous-groupes, y compris D lui-même et son sous-groupe trivial.
Rank of an abelian groupIn mathematics, the rank, Prüfer rank, or torsion-free rank of an abelian group A is the cardinality of a maximal linearly independent subset. The rank of A determines the size of the largest free abelian group contained in A. If A is torsion-free then it embeds into a vector space over the rational numbers of dimension rank A. For finitely generated abelian groups, rank is a strong invariant and every such group is determined up to isomorphism by its rank and torsion subgroup.
Groupe abélien libreEn mathématiques, un groupe abélien libre est un groupe abélien qui possède une base, c'est-à-dire une partie B telle que tout élément du groupe s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers (relatifs) d'éléments de B. Comme les espaces vectoriels, les groupes abéliens libres sont classifiés (à isomorphisme près) par leur rang, défini comme le cardinal d'une base, et tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre.
Groupe résolubleEn mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
AlgèbreL'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
