Théorème de SturmEn mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Sturm, établi en 1829 par Charles Sturm, permet de calculer le nombre de racines réelles distinctes d'une fonction polynomiale comprises dans un intervalle donné. La méthode effective de calcul correspondante s'appelle lalgorithme de Sturm. On se donne un polynôme P = x + a x + ... + a x + a. La suite de Sturm ou chaîne de Sturm à partir du polynôme P est une suite finie de polynômes P, P, ..., P.
AlgèbreL'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
Factorisation des polynômesEn mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.
Polynôme sans carréEn mathématiques, un polynôme sans carré est un polynôme défini sur un corps (commutatif), ou plus généralement sur un anneau factoriel, qui n'a pour facteur aucun carré d'un facteur non unitaire. Dans le cas des polynômes invariables sur un corps k, cela signifie que est sans carré si et seulement si pour chaque polynôme de degré positif. Dans les applications en physique et en génie, un polynôme sans carré est communément appelé un polynôme sans racines répétées.
Polynomial remainder theoremIn algebra, the polynomial remainder theorem or little Bézout's theorem (named after Étienne Bézout) is an application of Euclidean division of polynomials. It states that, for every number any polynomial is the sum of and the product by of a polynomial in of degree less than the degree of In particular, is the remainder of the Euclidean division of by and is a divisor of if and only if a property known as the factor theorem. Let . Polynomial division of by gives the quotient and the remainder . Therefore, .
Division d'un polynômeEn algèbre, l'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que : Ici l'expression deg S, si S désigne un polynôme, signifie le degré de S.
Calcul formelLe calcul formel, ou parfois calcul symbolique, est le domaine des mathématiques et de l’informatique qui s’intéresse aux algorithmes opérant sur des objets de nature mathématique par le biais de représentations finies et exactes. Ainsi, un nombre entier est représenté de manière finie et exacte par la suite des chiffres de son écriture en base 2. Étant donné les représentations de deux nombres entiers, le calcul formel se pose par exemple la question de calculer celle de leur produit.
Maxima (logiciel)Maxima est un logiciel libre de calcul formel, descendant du logiciel Macsyma, développé dès 1968 au sein du projet MAC du MIT (le nom Macsyma est tiré de « Project MAC's Symbolic Manipulator »). Il est disponible sous GNU/Linux, Mac OS X, Windows et Android. Maxima est distribué sous licence GNU GPL depuis 1998. Le logiciel est programmé en Lisp, tout comme les systèmes de calcul formel , Derive, et Axiom. Né à la fin des années 1960 au MIT, Macsyma a servi de « terrain d'expérimentation » pour de nombreux algorithmes de calcul formel.
Polynôme formelEn algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Extension séparableEn mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, une extension L d'un corps K est dite séparable si elle est algébrique et si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K). La séparabilité est une des propriétés des extensions de Galois. Toute extension finie séparable satisfait le théorème de l'élément primitif. Les corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables (c'est-à-dire les corps parfaits) sont nombreux.
Base de GröbnerEn mathématiques, une base de Gröbner (ou base standard, ou base de Buchberger) d'un idéal I de l'anneau de polynômes K[X, ..., X] est un ensemble de générateurs de cet idéal, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite dans les années 1960, indépendamment par Heisuke Hironaka et Bruno Buchberger, qui lui a donné le nom de son directeur de thèse Wolfgang Gröbner. Les bases de Gröbner ont le grand avantage de ramener l'étude des idéaux polynomiaux à l'étude des idéaux monomiaux (c'est-à-dire formés de monômes), plus faciles à appréhender.
Algorithme d'Euclide étenduEn mathématiques, l'algorithme d'Euclide étendu est une variante de l'algorithme d'Euclide. À partir de deux entiers a et b, il calcule non seulement leur plus grand commun diviseur (PGCD), mais aussi un de leurs couples de coefficients de Bézout, c'est-à-dire deux entiers u et v tels que au + bv = PGCD(a, b). Quand a et b sont premiers entre eux, u est alors l'inverse pour la multiplication de a modulo b (et v est de la même façon l'inverse modulaire de b, modulo a), ce qui est un cas particulièrement utile.
Division synthétiqueEn algèbre, la division synthétique est une méthode de division euclidienne de polynômes demandant moins d'écritures et de calculs que l'algorithme traditionnel. Elle généralise au cas de polynômes quelconques la méthode de Ruffini-Horner. Méthode de Ruffini-Horner Dans le cas de la division euclidienne d'un polynôme P(x) par (x-a)), la division synthétique est essentiellement équivalente à la méthode de Horner.
Fonction rationnelleEn mathématiques, une fonction rationnelle est une fonction définie par une fraction rationnelle, c'est-à-dire une dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. En pratique, l'ensemble de définition est généralement (ensemble des réels) ou (ensemble des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynomiales et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction est définie pour tout x tel que Q(x) ≠ 0 par Une fonction qui n'est pas rationnelle est dite irrationnelle.
Système de calcul formelUn système de calcul formel (computer algebra system ou CAS en anglais) est un logiciel qui facilite le calcul symbolique. La partie principale de ce système est la manipulation des expressions mathématiques sous leur forme symbolique. Les expressions peuvent être : des polynômes avec de multiples variables ; des fonctions (fonctions trigonométriques, exponentielle, etc.) ; des fonctions spéciales (gamma, zêta, erf, Bessel, etc.
Primitive part and contentIn algebra, the content of a nonzero polynomial with integer coefficients (or, more generally, with coefficients in a unique factorization domain) is the greatest common divisor of its coefficients. The primitive part of such a polynomial is the quotient of the polynomial by its content. Thus a polynomial is the product of its primitive part and its content, and this factorization is unique up to the multiplication of the content by a unit of the ring of the coefficients (and the multiplication of the primitive part by the inverse of the unit).
Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonctionUn algorithme de recherche d'un zéro d’une fonction est une méthode numérique ou un algorithme de recherche d’une valeur approchée d’un x vérifiant , pour une fonction donnée f. Ici, x est un nombre réel appelé zéro de f ou lorsque f est polynomiale, racine de f. Lorsque x est un vecteur, les algorithmes pour trouver x tel que sont généralement appelés « algorithmes de résolution numérique d'un système d'équations ». Ces algorithmes sont une généralisation des algorithmes de recherche d’un zéro d’une fonction et peuvent s’appliquer à des équations linéaires ou non linéaires.
RésultantEn mathématiques, le résultant, ou déterminant de Sylvester, est une notion qui s'applique à deux polynômes. Elle est utilisée en théorie de Galois, en théorie algébrique des nombres, en géométrie algébrique et dans bien d'autres domaines utilisant les polynômes. Le résultant de deux polynômes est un scalaire qui est nul si, et seulement si, les deux polynômes ont un facteur commun. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes à l'aide d'un déterminant.
Théorème de Bachet-BézoutEn mathématiques, et plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire : ax + by = pgcd(a, b) d'inconnues x et y entiers relatifs, où a et b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b. Le théorème de Bézout affirme que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si l'équation ax + by = 1 admet des solutions.
Algorithme d'EuclideEn mathématiques, l'algorithme d'Euclide est un algorithme qui calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers, c'est-à-dire le plus grand entier qui divise les deux entiers, en laissant un reste nul. L'algorithme ne requiert pas de connaître la factorisation de ces deux nombres. vignette|Peinture censée représenter le mathématicien Euclide d'Alexandrie, par Justus of Ghent. Selon Donald Knuth, l'algorithme d'Euclide est l'un des plus anciens algorithmes.
