Équation aux dérivées partiellesEn mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (parfois appelée équation différentielle partielle et abrégée en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire à une seule variable ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions.
Équation de BurgersL'équation de Burgers est une équation aux dérivées partielles issue de la mécanique des fluides. Elle apparaît dans divers domaines des mathématiques appliquées, comme la modélisation de la dynamique des gaz, de l'acoustique ou du trafic routier. Elle doit son nom à Johannes Martinus Burgers qui l'a discutée en 1948. Elle apparaît dans des travaux antérieurs du mathématicien Andrew Forsyth et d'Harry Bateman.
Équations d'EulerEn mécanique des fluides, les équations d'Euler sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l'écoulement des fluides (liquide ou gaz) dans l’approximation des milieux continus. Ces écoulements sont adiabatiques, sans échange de quantité de mouvement par viscosité ni d'énergie par conduction thermique. L'histoire de ces équations remonte à Leonhard Euler qui les a établies pour des écoulements incompressibles (1757).
Méthode des caractéristiquesEn mathématiques, la méthode des caractéristiques est une technique permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles. Particulièrement adaptée aux problèmes de transport, elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la mécanique des fluides ou le transport de particules. Dans certains cas particuliers, la méthode des caractéristiques peut permettre la résolution purement analytique de l'équation aux dérivées partielles.
Loi de conservationvignette|redresse|Emmy Noether est une mathématicienne allemande dont le théorème explique le lien fondamental entre la symétrie et les lois de conservation. En physique, une loi de conservation exprime qu'une propriété mesurable particulière d'un système physique reste constante au cours de l'évolution de ce système.
Espace de Minkowskithumb|Représentation schématique de l'espace de Minkowski, qui montre seulement deux des trois dimensions spatiales. En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de Minkowski ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie.
Problème bien poséLe concept mathématique de problème bien posé provient d'une définition de Hadamard qui pensait que les modèles mathématiques de phénomènes physiques devraient avoir les propriétés suivantes : Une solution existe ; La solution est unique ; La solution dépend de façon continue des données dans le cadre d’une topologie raisonnable. Le problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace et l’équation de la chaleur avec spécification de conditions initiales sont des formulations bien posées.
Théorie de la relativitévignette|Formule de la théorie de la relativité d'Albert Einstein. L'expression théorie de la relativité renvoie le plus souvent à deux théories complémentaires élaborées par Albert Einstein et Mileva Marić : la relativité restreinte (1905) et la relativité générale (1915). Ce terme peut aussi renvoyer à une idée plus ancienne, la relativité galiléenne, qui s'applique à la mécanique newtonienne. En 1905, le physicien allemand Max Planck utilise l'expression « théorie relative » (Relativtheorie), qui met l'accent sur l'usage du principe de relativité.
Relativité restreinteLa relativité restreinte est la théorie élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne et du principe selon lequel la vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens (ou inertiels), ce qui était implicitement énoncé dans les équations de Maxwell (mais interprété bien différemment jusque-là, avec « l'espace absolu » de Newton et léther).
Équation des ondesL' ou est une équation aux dérivées partielles en physique qui régit la propagation d'une onde. C'est une équation vérifiée par de nombreux phénomènes ondulatoires de la vie courante comme le son ou la lumière. avec : l'opérateur laplacien ; l'onde vectorielle; une constante, vitesse de propagation de dans le milieu considéré ; L'utilisation du laplacien permet de s'affranchir du choix d'un système de coordonnées. avec : l'opérateur de dérivée partielle seconde en appliqué sur ; , les trois variables cartésiennes de l'espace, et celle du temps.
Relativité généraleLa relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation, c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence de la présence de matière, et plus généralement d'énergie, sur le mouvement des astres en tenant compte des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton qui en représente la limite aux petites vitesses (comparées à la vitesse de la lumière) et aux champs gravitationnels faibles.
Courbure scalaireEn géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.
Controverse sur la paternité de la relativitéLa controverse sur la paternité de la relativité porte sur la remise en cause de l'attribution de la relativité restreinte, de la relativité générale et de l'équation E=mc à Albert Einstein. Cette attribution est généralement admise, ce qui ne signifie pas que les savants qui ont travaillé sur ces sujets et ont apporté des avancées substantielles à la même époque soient pour autant ignorés dans les présentations de ces théories. Comprendre l'importance du rôle de chacun est une question délicate d'histoire des sciences et qui fait souvent l'objet de débats.
Équation d'Einsteinvignette|Équation sur un mur à Leyde. L’'équation d'Einstein ou équation de champ d'Einstein' (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le , est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale. C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source.
Hermann MinkowskiHermann Minkowski, né à Alexotas (alors en Russie, dans le Gouvernement de Suwałki, et aujourd'hui en Lituanie) le et mort à Göttingen le , est un mathématicien et un physicien théoricien allemand. Hermann Minkowski naît le à Alexotas près de Kaunas dans une famille juive. Il est le cadet des trois enfants de Lewin Minkowski et de son épouse Rachel, née Raubmann. En , les Minkowski quittent Alexotas pour Königsberg. Minkowski y passe le reste de son enfance.
Équation de SchrödingerL'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en mécanique quantique. Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule massive non relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique. Au début du , il était devenu clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique.
Principe de relativitéLe principe de relativité affirme que les lois physiques s'expriment de manière identique dans tous les référentiels inertiels : les lois sont « invariantes par changement de référentiel inertiel ». Cela implique que pour deux expériences préparées de manière identique dans deux référentiels inertiels, les mesures faites sur l'une et l'autre dans leur référentiel respectif sont identiques : si je laisse tomber une balle, je constate la même trajectoire, que je réalise l'expérience sur le quai d'une gare ou dans un train en mouvement rectiligne uniforme.
One-way wave equationA one-way wave equation is a first-order partial differential equation describing one wave traveling in a direction defined by the vector wave velocity. It contrasts with the second-order two-way wave equation describing a standing wavefield resulting from superposition of two waves in opposite directions. In the one-dimensional case, the one-way wave equation allows wave propagation to be calculated without the mathematical complication of solving a 2nd order differential equation.
Problème inversevignette|une somme de plusieurs nombres donne le nombre 27, mais peut-on les deviner à partir de 27 ? En science, un problème inverse est une situation dans laquelle on tente de déterminer les causes d'un phénomène à partir des observations expérimentales de ses effets. Par exemple, en sismologie, la localisation de l'origine d'un tremblement de terre à partir de mesures faites par plusieurs stations sismiques réparties sur la surface du globe terrestre est un problème inverse.
Fonctionnelle de MinkowskiEn géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie C d'un R-espace vectoriel E on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski p, qui est une application de E dans [0, +∞] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater C pour englober ce vecteur. Dès que C contient l'origine, p est positivement homogène ; si C est étoilée par rapport p possède d'autres propriétés élémentaires. Si C est convexe — cas le plus souvent étudié — p est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies.
