Convex polytopeA convex polytope is a special case of a polytope, having the additional property that it is also a convex set contained in the -dimensional Euclidean space . Most texts use the term "polytope" for a bounded convex polytope, and the word "polyhedron" for the more general, possibly unbounded object. Others (including this article) allow polytopes to be unbounded. The terms "bounded/unbounded convex polytope" will be used below whenever the boundedness is critical to the discussed issue.
PolyèdreUn polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions (un solide géométrique) ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes. Le mot polyèdre, signifiant à plusieurs faces, provient des racines grecques πολύς (polys), « beaucoup » et ἕδρα (hedra), « base », « siège » ou « face ». Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Les côtés de ces polygones sont appelés arêtes. Les extrémités des arêtes sont des points appelés sommets.
Dual d'un polyèdreEn géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité : on peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, tel que : le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial, les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.
Espace affineEn géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).
Trois dimensionsTrois dimensions, tridimensionnel ou 3D sont des expressions qui caractérisent l'espace qui nous entoure, tel que perçu par notre vision, en ce qui concerne la largeur, la hauteur et la profondeur. Le terme « 3D » est également (et improprement) utilisé (surtout en anglais) pour désigner la représentation en (numérique), le relief des images stéréoscopiques ou autres , et même parfois le simple effet stéréophonique, qui ne peut par construction rendre que de la 2D (il ne s'agit donc que du calcul des projections perspectives, des ombrages, des rendus de matières).
Enveloppe convexeL'enveloppe convexe d'un objet ou d'un regroupement d'objets géométriques est l'ensemble convexe le plus petit parmi ceux qui le contiennent. Dans un plan, l'enveloppe convexe peut être comparée à la région limitée par un élastique qui englobe tous les points qu'on relâche jusqu'à ce qu'il se contracte au maximum. L'idée serait la même dans l'espace avec un ballon qui se dégonflerait jusqu'à être en contact avec tous les points qui sont à la surface de l'enveloppe convexe.
Espace à quatre dimensionsframe|L'équivalent en quatre dimensions du cube est le tesseract. On le voit ici en rotation, projeté dans l'espace usuel (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).|alt=Animation d'un tesseract (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir). En mathématiques, et plus spécialement en géométrie, l'espace à quatre dimensions (souvent abrégé en 4D ; on parlera par exemple de rotations en 4D) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu comme espace à trois dimensions : tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée de trois nombres, appelés dimensions, pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessite quatre.
Sous-espace affine engendréEn géométrie, dans un espace affine , le sous-espace affine engendré par une partie non vide , également dénommé l'enveloppe affine de , est le plus petit sous-espace affine de contenant . Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante : Soient et des espaces affines et , deux parties non vides de et une partie non vide de .
PolytopeUn polytope est un objet mathématique géométrique. Le terme de polytope a été inventé par Alicia Boole Stott, la fille du logicien George Boole. Le terme polytope admet plusieurs définitions au sein des mathématiques. Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays.
Cône convexeEn algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs. droite|vignette|Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points avec, et étant les points représentés sur la figure. Les courbes en haut à droite indiquent que les régions se prolongent à l'infini.
OctaèdreEn géométrie, un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Certains octaèdres satisfont des conditions de symétrie ou de régularité des faces : l'octaèdre régulier, le prisme hexagonal, la pyramide à base heptagonale, le tétraèdre tronqué, le trapézoèdre tétragonal. Un octaèdre dont toutes les faces sont triangulaires possède douze arêtes et six sommets. Fichier:Octahedron.svg | Octaèdre régulier Fichier:Hexagonal_prism.png | Prisme hexagonal Fichier:Truncated_tetrahedron.
Angular defectIn geometry, the (angular) defect (or deficit or deficiency) means the failure of some angles to add up to the expected amount of 360° or 180°, when such angles in the Euclidean plane would. The opposite notion is the excess. Classically the defect arises in two ways: the defect of a vertex of a polyhedron; the defect of a hyperbolic triangle; and the excess also arises in two ways: the excess of a toroidal polyhedron.
Dehn invariantIn geometry, the Dehn invariant is a value used to determine whether one polyhedron can be cut into pieces and reassembled ("dissected") into another, and whether a polyhedron or its dissections can tile space. It is named after Max Dehn, who used it to solve Hilbert's third problem by proving that not all polyhedra with equal volume could be dissected into each other. Two polyhedra have a dissection into polyhedral pieces that can be reassembled into either one, if and only if their volumes and Dehn invariants are equal.
Combinaison barycentriqueEn géométrie vectorielle, une combinaison barycentrique ou combinaison affine de vecteurs est une combinaison linéaire dont la somme des coefficients est égale à 1. L’expression s’emploie par défaut pour une somme finie, mais parfois aussi pour la limite d’une série sous réserve de convergence. Les combinaisons barycentriques correspondent ainsi aux barycentres des vecteurs vus comme des points de l’espace affine associé, et l’ensemble de ces combinaisons barycentriques constitue le sous-espace affine engendré par ces points.
Troisième problème de Hilbertvignette|Illustration de l'invariant de Dehn Le troisième problème de Hilbert est l'un des 23 problèmes de Hilbert. Considéré comme le plus facile, il traite de la géométrie des polyèdres. David Hilbert conjectura que ce n'était pas toujours vrai. Ce fut confirmé dans l'année par son élève, Max Dehn, qui fournit un contre-exemple. Pour le problème analogue concernant les polygones, la réponse est affirmative. Le résultat est connu sous le nom du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien.
Optimisation linéairethumb|upright=0.5|Optimisation linéaire dans un espace à deux dimensions (x1, x2). La fonction-coût fc est représentée par les lignes de niveau bleues à gauche et par le plan bleu à droite. L'ensemble admissible E est le pentagone vert. En optimisation mathématique, un problème d'optimisation linéaire demande de minimiser une fonction linéaire sur un polyèdre convexe. La fonction que l'on minimise ainsi que les contraintes sont décrites par des fonctions linéaires, d'où le nom donné à ces problèmes.
Plan affine (structure d'incidence)Dans une approche axiomatique de la géométrie, il est possible de définir le plan comme une structure d'incidence, c'est-à-dire la donnée d'objets primitifs, les points et les droites (qui sont certains ensembles de ces points) et d'une relation, dite d'incidence, entre point et droite (qui est la relation d'appartenance du point à la droite).
Sphère inscriteIn geometry, the inscribed sphere or insphere of a convex polyhedron is a sphere that is contained within the polyhedron and tangent to each of the polyhedron's faces. It is the largest sphere that is contained wholly within the polyhedron, and is dual to the dual polyhedron's circumsphere. The radius of the sphere inscribed in a polyhedron P is called the inradius of P. All regular polyhedra have inscribed spheres, but most irregular polyhedra do not have all facets tangent to a common sphere, although it is still possible to define the largest contained sphere for such shapes.
Sphère circonscriteEn géométrie, une sphère circonscrite à un polyèdre est une sphère contenant le polyèdre et dont tous les sommets du polyèdre sont sur la surface de la sphère. Il s'agit d'une extension du cercle circonscrit en dimension 3. En cas d'existence, une sphère circonscrite n'est pas la plus petite sphère contenant le polyèdre ; par exemple, le tétraèdre rectangle formé par un sommet d'un cube et ses trois voisins admet la sphère circonscrite au cube comme sphère circonscrite, mais il existe une sphère englobante à ce tétraèdre plus petite, celle avec les trois sommets voisins sur son équateur.
Optimisation linéaire en nombres entiersL'optimisation linéaire en nombres entiers (OLNE) (ou programmation linéaire en nombres entiers (PLNE) ou integer programming (IP) ou Integer Linear Programming (ILP)) est un domaine des mathématiques et de l'informatique théorique dans lequel on considère des problèmes d'optimisation d'une forme particulière. Ces problèmes sont décrits par une fonction de coût et des contraintes linéaires, et par des variables entières.
