Valeur propre, vecteur propre et espace propreEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
Décomposition d'une matrice en éléments propresEn algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».
Algorithme de recherche de valeur propreUn problème important en analyse numérique consiste à développer des algorithmes efficaces et stables pour trouver les valeurs propres d'une matrice. Ces algorithmes de recherche de valeurs propres peuvent être étendus pour donner les vecteurs propres associés. Valeur propre, vecteur propre et espace propre Pour une matrice carrée A de taille n × n réelle ou complexe, une valeur propre λ et son vecteur propre généralisé associé v sont un couple vérifiant la relation où v est un vecteur colonne n × 1 non nul, I la matrice identité de taille n × n, k un entier positif.
PréconditionneurEn algèbre linéaire et en analyse numérique, un préconditionneur d'une matrice est une matrice telle que le conditionnement de est plus petit que celui de . Le préconditionnement est surtout utilisé dans les méthodes itératives pour la résolution d'un système linéaire (méthode du gradient, méthode du gradient conjugué, ...). Au lieu de résoudre, on préfère résoudre qui permet de diminuer considérablement le nombre d'itérations dans la méthode de résolution (itérative). On dit que le système est "mieux" conditionné.
Divide-and-conquer eigenvalue algorithmDivide-and-conquer eigenvalue algorithms are a class of eigenvalue algorithms for Hermitian or real symmetric matrices that have recently (circa 1990s) become competitive in terms of stability and efficiency with more traditional algorithms such as the QR algorithm. The basic concept behind these algorithms is the divide-and-conquer approach from computer science. An eigenvalue problem is divided into two problems of roughly half the size, each of these are solved recursively, and the eigenvalues of the original problem are computed from the results of these smaller problems.
Méthode itérativeEn analyse numérique, une méthode itérative est un procédé algorithmique utilisé pour résoudre un problème, par exemple la recherche d’une solution d’un système d'équations ou d’un problème d’optimisation. En débutant par le choix d’un point initial considéré comme une première ébauche de solution, la méthode procède par itérations au cours desquelles elle détermine une succession de solutions approximatives raffinées qui se rapprochent graduellement de la solution cherchée. Les points générés sont appelés des itérés.
Defective matrixIn linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an n × n matrix is defective if and only if it does not have n linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems.
Multigrid methodIn numerical analysis, a multigrid method (MG method) is an algorithm for solving differential equations using a hierarchy of discretizations. They are an example of a class of techniques called multiresolution methods, very useful in problems exhibiting multiple scales of behavior. For example, many basic relaxation methods exhibit different rates of convergence for short- and long-wavelength components, suggesting these different scales be treated differently, as in a Fourier analysis approach to multigrid.
Système linéaireUn système linéaire (le terme système étant pris au sens de l'automatique, à savoir un système dynamique) est un objet du monde matériel qui peut être décrit par des équations linéaires (équations linéaires différentielles ou aux différences), ou encore qui obéit au principe de superposition : toute combinaison linéaire des variables de ce système est encore une variable de ce système. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires.
Algorithme de LanczosEn algèbre linéaire, l’algorithme de Lanczos (ou méthode de Lanczos) est un algorithme itératif pour déterminer les valeurs et vecteurs propres d'une matrice carrée, ou la décomposition en valeurs singulières d'une matrice rectangulaire. Cet algorithme n'a pas de lien avec le fenêtrage de Lanczos (utilisé par exemple pour le redimensionnement d'images), si ce n'est que tous les deux tirent leur nom du même inventeur, le physicien et mathématicien hongrois Cornelius Lanczos.
Théorème spectralEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).
TensorFlowTensorFlow est un outil open source d'apprentissage automatique développé par Google. Le code source a été ouvert le par Google et publié sous licence Apache. Il est fondé sur l'infrastructure DistBelief, initiée par Google en 2011, et est doté d'une interface pour Python, Julia et R TensorFlow est l'un des outils les plus utilisés en IA dans le domaine de l'apprentissage machine. À partir de 2011, Google Brain a développé un outil propriétaire d'apprentissage automatique fondé sur l'apprentissage profond.
Système d'équations linéairesEn mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple : Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique.
Higher-order singular value decompositionIn multilinear algebra, the higher-order singular value decomposition (HOSVD) of a tensor is a specific orthogonal Tucker decomposition. It may be regarded as one type of generalization of the matrix singular value decomposition. It has applications in computer vision, computer graphics, machine learning, scientific computing, and signal processing. Some aspects can be traced as far back as F. L. Hitchcock in 1928, but it was L. R. Tucker who developed for third-order tensors the general Tucker decomposition in the 1960s, further advocated by L.
Équation aux dérivées partiellesEn mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (parfois appelée équation différentielle partielle et abrégée en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire à une seule variable ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions.
Linear time-invariant systemIn system analysis, among other fields of study, a linear time-invariant (LTI) system is a system that produces an output signal from any input signal subject to the constraints of linearity and time-invariance; these terms are briefly defined below. These properties apply (exactly or approximately) to many important physical systems, in which case the response y(t) of the system to an arbitrary input x(t) can be found directly using convolution: y(t) = (x ∗ h)(t) where h(t) is called the system's impulse response and ∗ represents convolution (not to be confused with multiplication).
Numerical cognitionNumerical cognition is a subdiscipline of cognitive science that studies the cognitive, developmental and neural bases of numbers and mathematics. As with many cognitive science endeavors, this is a highly interdisciplinary topic, and includes researchers in cognitive psychology, developmental psychology, neuroscience and cognitive linguistics. This discipline, although it may interact with questions in the philosophy of mathematics, is primarily concerned with empirical questions.
