Nombre de BettiEn mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, les nombres de Betti sont des invariants topologiques, c'est-à-dire qu'ils aident à distinguer différents espaces topologiques. Ils forment une suite dont chaque terme est un entier naturel ou +∞. Pour les espaces « raisonnables » comme les variétés compactes et les complexes simpliciaux ou CW-complexes finis, ils sont tous finis, et nuls à partir d'un certain rang (au-delà de la dimension de l'espace). Henri Poincaré les a nommés ainsi en l'honneur d'Enrico Betti.
Rang (algèbre linéaire)En algèbre linéaire : le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Par exemple, pour une famille de vecteurs linéairement indépendants, son rang est le nombre de vecteurs ; le rang d'une application linéaire de dans est la dimension de son , qui est un sous-espace vectoriel de . Le théorème du rang relie la dimension de , la dimension du noyau de et le rang de ; le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente, ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ; le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent.
Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Classification des algèbres de CliffordEn mathématiques, en particulier dans la théorie des formes quadratiques non dégénérées sur les espaces vectoriels réels et complexes, les algèbres de Clifford de dimension finie ont été complètement classées. Dans chaque cas, l'algèbre de Clifford est isomorphe à une algèbre de matrices sur R, C ou H (les quaternions), ou à une somme directe de deux de ces algèbres, mais pas de manière canonique. Notation et conventions. Dans cet article, nous utiliserons la convention de signe (+) pour la multiplication de Clifford, c’est-à-dire où Q est la forme quadratique sur l'espace vectoriel V.
Matrice diagonalisableEn mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.
Porte quantiqueEn informatique quantique, et plus précisément dans le modèle de de calcul, une porte quantique (ou porte logique quantique) est un circuit quantique élémentaire opérant sur un petit nombre de qubits. Les portes quantiques sont les briques de base des circuits quantiques, comme le sont les portes logiques classiques pour des circuits numériques classiques. Contrairement à de nombreuses portes logiques classiques, les portes logiques quantique sont « réversibles ».
Matrice inversibleEn mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A. Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.
Matrix decompositionIn the mathematical discipline of linear algebra, a matrix decomposition or matrix factorization is a factorization of a matrix into a product of matrices. There are many different matrix decompositions; each finds use among a particular class of problems. In numerical analysis, different decompositions are used to implement efficient matrix algorithms. For instance, when solving a system of linear equations , the matrix A can be decomposed via the LU decomposition.
Matrix ringIn abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.
Projective unitary groupIn mathematics, the projective unitary group PU(n) is the quotient of the unitary group U(n) by the right multiplication of its center, U(1), embedded as scalars. Abstractly, it is the holomorphic isometry group of complex projective space, just as the projective orthogonal group is the isometry group of real projective space. In terms of matrices, elements of U(n) are complex n×n unitary matrices, and elements of the center are diagonal matrices equal to eiθ multiplied by the identity matrix.
Suprématie quantiqueLa suprématie quantique, aussi appelée avantage quantique, désigne le nombre de qubits au-delà duquel plus aucun superordinateur classique n'est capable de gérer la croissance exponentielle de la mémoire et la bande passante de communication nécessaire pour simuler son équivalent quantique. Les superordinateurs de 2017 peuvent reproduire les résultats d'un ordinateur quantique de , mais à partir de cela devient physiquement impossible. Le seuil d'environ 50 qubits correspond à la limite théorique de la suprématie quantique.
Informatique quantiqueL'informatique quantique est le sous-domaine de l'informatique qui traite des calculateurs quantiques et des associés. La notion s'oppose à celle d'informatique dite « classique » n'utilisant que des phénomènes de physique classique, notamment de l'électricité (exemple du transistor) ou de mécanique classique (exemple historique de la machine analytique). En effet, l'informatique quantique utilise également des phénomènes de la mécanique quantique, à savoir l'intrication quantique et la superposition.
Groupe spécial unitaireEn mathématiques, le groupe spécial unitaire de E, où E est un espace hermitien, est le groupe des automorphismes unitaires de E de déterminant 1, la loi de composition interne considérée étant la composition d’automorphismes. Il est noté SU(E). C’est un sous-groupe de U(E), le groupe unitaire des automorphismes de E. De manière générale, on peut définir le groupe spécial unitaire d'une forme sesquilinéaire hermitienne complexe non dégénérée, ou d'une forme sesquilinéaire hermitienne ou antihermitienne non dégénérée sur un espace vectoriel de dimension finie sur certains corps (commutatifs ou non) relativement à une involution.
HermitienPlusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite. Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires : f est semi-linéaire par rapport à la première variable et f est linéaire par rapport à la deuxième variable Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus : ou, ce qui est équivalent : Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Téléportation quantiqueLa téléportation quantique est une technique de transfert d'informations quantiques qui consiste à transférer l’état quantique d’un système vers un autre système similaire et distant, sans avoir besoin de transporter physiquement le système lui-même. En d'autres termes, c'est un moyen de transmettre l'information contenue dans un système quantique à un autre endroit, sans avoir à déplacer le système physique.
Groupe quantiqueIn mathematics and theoretical physics, the term quantum group denotes one of a few different kinds of noncommutative algebras with additional structure. These include Drinfeld–Jimbo type quantum groups (which are quasitriangular Hopf algebras), compact matrix quantum groups (which are structures on unital separable C*-algebras), and bicrossproduct quantum groups. Despite their name, they do not themselves have a natural group structure, though they are in some sense 'close' to a group.
Mécanique quantiqueLa mécanique quantique est la branche de la physique théorique qui a succédé à la théorie des quanta et à la mécanique ondulatoire pour étudier et décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus particulièrement à l'échelle atomique et subatomique. Elle fut développée dans les années 1920 par une dizaine de physiciens européens, pour résoudre des problèmes que la physique classique échouait à expliquer, comme le rayonnement du corps noir, l'effet photo-électrique, ou l'existence des raies spectrales.
Effet Zénon quantiquevignette|400x400px| Avec le nombre croissant de mesures, la fonction d'onde a tendance à rester dans sa forme initiale. Dans l'animation, une évolution libre dans le temps d'une fonction d'onde, représentée à gauche. Dans la partie centrale, elle est interrompue par des mesures de position occasionnelles qui localisent la fonction d'onde dans l'un des neuf secteurs. À droite, une série de mesures très fréquentes conduit à l'effet Zénon.
Quantum annealingQuantum annealing (QA) is an optimization process for finding the global minimum of a given objective function over a given set of candidate solutions (candidate states), by a process using quantum fluctuations. Quantum annealing is used mainly for problems where the search space is discrete (combinatorial optimization problems) with many local minima; such as finding the ground state of a spin glass or the traveling salesman problem. The term "quantum annealing" was first proposed in 1988 by B. Apolloni, N.
