Fonction Lvignette|Représentation de la fonction ζ de Riemann, exemple le plus classique de fonction L En mathématiques, la théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une démonstration.
Hypothèse de RiemannEn mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.
Série de DirichletEn mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble C des nombres complexes, et associée à une suite (a) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : Ici, la suite (λ) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de C, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit C tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature.
Fonction zêta de Riemannvignette|upright=2|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros. vignette|upright=2|Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.
Fonction bêta de Dirichletvignette|Graphique de la fonction bêta de Drichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4. Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série : ou par l'intégrale Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes : Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch : qui est aussi valable pour tous nombres complexes.
Fonction zêta de DedekindEn mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres K. C'est la fonction de la variable complexe s définie par la somme infinie : prise sur tous les idéaux I non nuls de l'anneau O des entiers de K, où N(I) désigne la norme de I (relative au corps Q des rationnels). Cette norme est égale au cardinal de l'anneau quotient O/I. En particulier, ζ est la fonction zêta de Riemann. Les propriétés de la fonction méromorphe ζ ont une signification considérable en théorie algébrique des nombres.
Caractère de DirichletEn mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes. Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique. Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (Z/nZ) de l'anneau Z/nZ. Dans le corps C des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté .
Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Moment (probabilités)En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (i.e la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Ainsi, l'écart type est la racine carrée du moment centré d’ordre 2. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis. Le concept de moment est proche du concept de moment en physique.
Moment quadratiqueLe moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le Système international en m (mètre à la puissance 4). Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion () et en flexion ( et ). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment quadratique selon cet axe.
Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Irrationnel quadratiqueUn irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel Q(), où d est un entier positif sans facteur carré. Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange). Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant ).
Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginairesEn mathématiques, le problème du nombre de classes de Gauss pour les corps quadratiques imaginaires, au sens usuel, est de fournir pour chaque entier n ≥ 1, la liste complète des corps quadratiques imaginaires dont l'anneau des entiers a un nombre de classes égal à n. C'est une question de calcul effectif. La première démonstration (Hans Heilbronn, 1934) qu'une telle liste est finie ne fournissait pas, même en théorie, un moyen de la calculer (voir Résultats effectifs en théorie des nombres).
Loi de réciprocité quadratiqueEn mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801.
Entier quadratiqueEn mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale : elle correspond à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients seulement rationnels. Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques.
Résidu quadratiqueEn mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, un entier naturel q est un résidu quadratique modulo n s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module n. Autrement dit, q est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que : Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo n Par exemple : modulo 4, les résidus quadratiques sont les entiers congrus à 2 ≡ 0 = 0 ou à (±1) = 1.
Fonction êta de DirichletLa fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par : où ζ est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1–2. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par : d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée.
Forme quadratique binaireEn mathématiques, une forme quadratique binaire est une forme quadratique — c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2 — en deux variables : Les propriétés d'une telle forme dépendent de façon essentielle de la nature des coefficients a, b, c, qui peuvent être par exemple des nombres réels ou rationnels ou, ce qui rend l'étude plus délicate, entiers. Fermat considérait déjà des formes quadratiques binaires entières, en particulier pour son théorème des deux carrés.
Hypothèse de Riemann généraliséeL'hypothèse de Riemann est l'une des plus importantes conjectures des mathématiques et concerne les zéros de la fonction ζ de Riemann. Divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par ce que l'on appelle les fonctions L globales, qui sont similaires formellement à la fonction zêta de Riemann. On peut alors se poser la même question à propos des zéros de ces fonctions L, fournissant diverses généralisations de l'hypothèse de Riemann.
Asymptotic analysisIn mathematical analysis, asymptotic analysis, also known as asymptotics, is a method of describing limiting behavior. As an illustration, suppose that we are interested in the properties of a function f (n) as n becomes very large. If f(n) = n2 + 3n, then as n becomes very large, the term 3n becomes insignificant compared to n2. The function f(n) is said to be "asymptotically equivalent to n2, as n → ∞". This is often written symbolically as f (n) ~ n2, which is read as "f(n) is asymptotic to n2".
