P-groupeEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes. Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe. Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe. On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
Nombre premiervignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
Groupe cycliqueEn mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique est un groupe qui est à la fois fini et monogène, c'est-à-dire qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a (en notation additive, ou comme puissance en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe. Il n'existe, à isomorphisme près, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient Z/nZ — également noté Z ou C — de Z par le sous-groupe des multiples de n.
Théorème des nombres premiersvignette|Une illustration du théorème des nombres premiers : en rouge, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x ; en vert, une approximation utilisant ; en bleu, une approximation utilisant l'intégrale logarithmique . En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers.
ConjectureEn mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on croit fortement être vraie (en l'absence de contre-exemple, ou comme généralisation de résultats démontrés). Une conjecture peut être choisie comme hypothèse ou postulat pour étudier d'autres énoncés. Si une conjecture se révèle indécidable relativement au système d'axiomes dans laquelle elle s'insère, elle peut être érigée en nouvel axiome (ou rejetée par la mise en place d'un nouvel axiome).
Entier relatifEn mathématiques, un entier relatif, un entier rationnel ou simplement un nombre entier est un nombre qui se présente comme un entier naturel auquel on a adjoint un signe positif ou négatif indiquant sa position par rapport à 0 sur un axe orienté. Les entiers positifs (supérieurs à zéro) s'identifient aux entiers naturels : 0, 1, 2, 3... tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés : 0, −1, −2, −3... L'entier 0 lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif.
Nombre de Mersenne premiervignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648) En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 − 1 (souvent noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits.
Conjecture de CramérEn mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936, pronostique l'asymptotique suivante pour l'écart entre nombres premiers : où gn est le n-ième écart, pn est le n-ième nombre premier et désigne le symbole de Bachmann-Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour. Cramér avait auparavant, en 1920, démontré un énoncé plus faible : sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).
Fonction de compte des nombres premiersEn mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée π(x) (à ne pas confondre avec la constante π). L’image ci-contre illustre la fonction π(n) pour les valeurs entières de la variable. Elle met en évidence les augmentations de 1 que la fonction subit à chaque fois que x est égal à un nombre premier. Soit l'ensemble des nombres premiers et un nombre réel.
Corps commutatifvignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.
Groupe de PrüferEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle p-groupe de Prüfer, ou encore groupe p-quasi-cyclique, pour un nombre premier p donné, tout groupe isomorphe au groupe multiplicatif formé par les racines complexes de l'unité dont les ordres sont des puissances de p. C'est donc un p-groupe abélien dénombrable. Les p-groupes de Prüfer étant isomorphes entre eux, on parle volontiers « du » p-groupe de Prüfer, sans en préciser un en particulier.
Groupe finivignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.
Conjecture de Pólyathumb|right|Fonction sommatoire de la fonction de Liouville L(n) jusqu'à n = . thumb|right|Gros plan sur la fonction sommatoire de la fonction de Liouville L(n) dans la région où la conjecture de Pólya est en défaut. En théorie des nombres, la conjecture de Pólya énonce que la plupart (c'est-à-dire plus de la moitié) des entiers naturels inférieurs à un entier donné ont un nombre impair de facteurs premiers. La conjecture a été proposée par le mathématicien hongrois George Pólya en 1919.
Nombre double de MersenneEn mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme où n est un entier strictement positif et M désigne le n-ième nombre de Mersenne. Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc : M = M = 1 ; M = M = 7 ; M = M = 127 ; M = M = = 7 × 31 × 151 ; M = M = 2 147 483 647 ; M = M = = 7 × 73 × 127 × 337 × × ; M = M = . Puisqu'un nombre de Mersenne M ne peut être premier que si n est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne M ne peut être premier que si M est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que p le soit : on a vu par exemple que M et M ne sont pas premiers).
Racine de l'unitévignette|Les racines cinquièmes de l'unité (points bleus) dans le plan complexe. En mathématiques, une racine de l'unité est un nombre complexe dont une puissance entière non nulle vaut 1, c'est-à-dire tel qu'il existe un nombre entier naturel non nul n tel que . Ce nombre est alors appelé racine n-ième de l'unité. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive si elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire si n est le plus petit entier strictement positif pour lequel l'égalité est réalisée.
Formules pour les nombres premiersEn mathématiques, la recherche de formules exactes donnant tous les nombres premiers, certaines familles de nombres premiers ou le nombre premier s'est généralement avérée vaine, ce qui a amené à se contenter de formules approchées. Cette page recense les principaux résultats obtenus. L'espoir d'obtenir une formule exacte et simple donnant le n-ième nombre premier p, ou le nombre π(n) de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, s'est très tôt heurté à l'extrême irrégularité de leur répartition, ce qui a amené à se contenter d'objectifs moins ambitieux.
Caractéristique d'un anneauEn algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro. On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ». La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.
Groupe résolubleEn mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).
Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Décomposition en produit de facteurs premiersvignette|Décomposition du nombre 864 en facteurs premiers En mathématiques et plus précisément en arithmétique, la décomposition en produit de facteurs premiers, aussi connue comme la factorisation entière en nombres premiers ou encore plus couramment la décomposition en facteurs premiers, consiste à chercher à écrire un entier naturel non nul sous forme d'un produit de nombres premiers. Par exemple, si le nombre donné est 45, la factorisation en nombres premiers est 3 × 5, soit 3 × 3 × 5.
