Polynôme formelEn algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Noncommutative algebraic geometryNoncommutative algebraic geometry is a branch of mathematics, and more specifically a direction in noncommutative geometry, that studies the geometric properties of formal duals of non-commutative algebraic objects such as rings as well as geometric objects derived from them (e.g. by gluing along localizations or taking noncommutative stack quotients).
HermitienPlusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite. Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires : f est semi-linéaire par rapport à la première variable et f est linéaire par rapport à la deuxième variable Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus : ou, ce qui est équivalent : Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Noncommutative ringIn mathematics, a noncommutative ring is a ring whose multiplication is not commutative; that is, there exist a and b in the ring such that ab and ba are different. Equivalently, a noncommutative ring is a ring that is not a commutative ring. Noncommutative algebra is the part of ring theory devoted to study of properties of the noncommutative rings, including the properties that apply also to commutative rings. Sometimes the term noncommutative ring is used instead of ring to refer to an unspecified ring which is not necessarily commutative, and hence may be commutative.
Square matrixIn mathematics, a square matrix is a matrix with the same number of rows and columns. An n-by-n matrix is known as a square matrix of order . Any two square matrices of the same order can be added and multiplied. Square matrices are often used to represent simple linear transformations, such as shearing or rotation. For example, if is a square matrix representing a rotation (rotation matrix) and is a column vector describing the position of a point in space, the product yields another column vector describing the position of that point after that rotation.
Matrice adjointeEn algèbre linéaire, une matrice adjointe (aussi appelée matrice transconjuguée) d'une matrice M à coefficients complexes est la matrice transposée de la matrice conjuguée de M. Dans le cas particulier où M est à coefficients réels, sa matrice adjointe est donc simplement sa matrice transposée.
Géométrie non commutativeLa géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est une branche des mathématiques, et plus précisément un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre Grothendieck), car s'intéressant à des objets définis à partir de structures algébriques non commutatives. L'idée principale est qu'un espace au sens de la géométrie usuelle peut être décrit par l'ensemble des fonctions numériques définies sur cet espace.
Matrice normaleEn algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients complexes est une matrice normale si elle commute avec sa matrice adjointe A*, c'est-à-dire si A⋅A* = A*⋅A. Toutes les matrices hermitiennes, ou unitaires sont normales, en particulier, parmi les matrices à coefficients réels, toutes les matrices symétriques, antisymétriques ou orthogonales. Ce théorème — cas particulier du théorème de décomposition de Schur — est connu sous le nom de théorème spectral, et les éléments diagonaux de UAU sont alors les valeurs propres de A.
Polynôme non commutatifIn mathematics, especially in the area of abstract algebra known as ring theory, a free algebra is the noncommutative analogue of a polynomial ring since its elements may be described as "polynomials" with non-commuting variables. Likewise, the polynomial ring may be regarded as a free commutative algebra. For R a commutative ring, the free (associative, unital) algebra on n indeterminates {X1,...,Xn} is the free R-module with a basis consisting of all words over the alphabet {X1,...
Théorie des anneauxEn mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.
Opérateur adjointEn mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a. Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie.
Anneau sans diviseur de zéroEn théorie des anneaux, un anneau sans diviseur de zéro () est un anneau unitaire dans lequel un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, autrement dit dans lequel l'implication suivante est vérifiée : En d'autres termes, c'est un anneau dans lequel il n'y a aucun diviseur de zéro (ni à droite, ni à gauche). Certains auteurs exigent également que la condition 1 ≠ 0 soit remplie ou, ce qui revient au même, que l'anneau ait au moins deux éléments.
Central simple algebraIn ring theory and related areas of mathematics a central simple algebra (CSA) over a field K is a finite-dimensional associative K-algebra A which is simple, and for which the center is exactly K. (Note that not every simple algebra is a central simple algebra over its center: for instance, if K is a field of characteristic 0, then the Weyl algebra is a simple algebra with center K, but is not a central simple algebra over K as it has infinite dimension as a K-module.
Gram matrixIn linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product . If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers. An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the Gram determinant (the determinant of the Gram matrix) is non-zero.
Optimisation SDPEn mathématiques et en informatique théorique, l'optimisation SDP ou semi-définie positive, est un type d'optimisation convexe, qui étend l'optimisation linéaire. Dans un problème d'optimisation SDP, l'inconnue est une matrice symétrique que l'on impose d'être semi-définie positive. Comme en optimisation linéaire, le critère à minimiser est linéaire et l'inconnue doit également satisfaire une contrainte affine. L'optimisation SDP se généralise par l'optimisation conique, qui s'intéresse aux problèmes de minimisation d'une fonction linéaire sur l'intersection d'un cône et d'un sous-espace affine.
Definite matrixIn mathematics, a symmetric matrix with real entries is positive-definite if the real number is positive for every nonzero real column vector where is the transpose of . More generally, a Hermitian matrix (that is, a complex matrix equal to its conjugate transpose) is positive-definite if the real number is positive for every nonzero complex column vector where denotes the conjugate transpose of Positive semi-definite matrices are defined similarly, except that the scalars and are required to be positive or zero (that is, nonnegative).
Matrice de rotationEn mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de rotation Q est une matrice orthogonale de déterminant 1, ce qui peut s'exprimer par les équations suivantes : QtQ = I = QQt et det Q = 1, où Qt est la matrice transposée de Q, et I est la matrice identité. Ces matrices sont exactement celles qui, dans un espace euclidien, représentent les isométries (vectorielles) directes.
Module semi-simplethumb|Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire. Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.
Algebra representationIn abstract algebra, a representation of an associative algebra is a module for that algebra. Here an associative algebra is a (not necessarily unital) ring. If the algebra is not unital, it may be made so in a standard way (see the adjoint functors page); there is no essential difference between modules for the resulting unital ring, in which the identity acts by the identity mapping, and representations of the algebra.
Algorithmethumb|Algorithme de découpe d'un polygone quelconque en triangles (triangulation). Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d'instructions et d’opérations permettant de résoudre une classe de problèmes. Le domaine qui étudie les algorithmes est appelé l'algorithmique. On retrouve aujourd'hui des algorithmes dans de nombreuses applications telles que le fonctionnement des ordinateurs, la cryptographie, le routage d'informations, la planification et l'utilisation optimale des ressources, le , le traitement de textes, la bio-informatique L' algorithme peut être mis en forme de façon graphique dans un algorigramme ou organigramme de programmation.
