Variété riemannienneEn mathématiques, et plus précisément en géométrie, la variété riemannienne est l'objet de base étudié en géométrie riemannienne. Il s'agit d'une variété, c'est-à-dire un espace courbe généralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) à une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur. En termes techniques, une variété riemannienne est une variété différentielle munie d'une structure supplémentaire appelée métrique riemannienne permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs tangents à la variété en un même point.
Variété pseudo-riemannienneLa géométrie pseudo-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l'étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les métriques euclidiennes. Cependant, cette géométrie présente des aspects non intuitifs des plus surprenants. Une métrique pseudo-riemannienne sur une variété différentielle M de dimension n est une famille g= de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents de signature constante (p,q).
Géométrie riemanniennevignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Curvature of Riemannian manifoldsIn mathematics, specifically differential geometry, the infinitesimal geometry of Riemannian manifolds with dimension greater than 2 is too complicated to be described by a single number at a given point. Riemann introduced an abstract and rigorous way to define curvature for these manifolds, now known as the Riemann curvature tensor. Similar notions have found applications everywhere in differential geometry of surfaces and other objects. The curvature of a pseudo-Riemannian manifold can be expressed in the same way with only slight modifications.
Géométrie différentielle des surfacesEn mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.
Groupe de LieEn mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est aussi une variété différentielle. D'une part, un groupe est une structure algébrique munie d'une opération binaire, typiquement une multiplication et son inverse la division, ou alors une addition et son inverse la soustraction. D'autre part, une variété est un espace qui localement ressemble à un espace euclidien. Ici, on s'intéresse à un ensemble qui est à la fois un groupe et une variété : nous pouvons multiplier les éléments entre eux, calculer l'inverse d'un élément.
Métrique pseudo-riemannienneEn mathématiques et en physique, une métrique pseudo-riemannienne est une extension de la métrique riemannienne dans laquelle un certain nombre d'axes de l'espace qu'elle décrit ont des normes négatives. Si la métrique pseudo-riemanienne est en réalité un champ tensoriel, et donc varie d'un point à un autre, sa signature (le nombre d'axes dont les normes sont positives et le nombre d'axes dont les normes sont négatives), elle, ne peut jamais changer pour un même espace. Variété pseudo-riemannienne Catégori
Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
Lie group–Lie algebra correspondenceIn mathematics, Lie group–Lie algebra correspondence allows one to correspond a Lie group to a Lie algebra or vice versa, and study the conditions for such a relationship. Lie groups that are isomorphic to each other have Lie algebras that are isomorphic to each other, but the converse is not necessarily true. One obvious counterexample is and (see real coordinate space and the circle group respectively) which are non-isomorphic to each other as Lie groups but their Lie algebras are isomorphic to each other.
Représentation d'algèbre de LieEn mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Hermitian manifoldIn mathematics, and more specifically in differential geometry, a Hermitian manifold is the complex analogue of a Riemannian manifold. More precisely, a Hermitian manifold is a complex manifold with a smoothly varying Hermitian inner product on each (holomorphic) tangent space. One can also define a Hermitian manifold as a real manifold with a Riemannian metric that preserves a complex structure. A complex structure is essentially an almost complex structure with an integrability condition, and this condition yields a unitary structure (U(n) structure) on the manifold.
Groupe de type de LieEn mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire réductif G à valeur dans le corps commutatif k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types de Lie finis forment l'essentiel des groupes finis simples. Des cas particuliers incluent les groupes classiques, les groupes de Chevalley, les groupes de Steinberg et les groupes de Suzuki-Ree.
Hyperkähler manifoldIn differential geometry, a hyperkähler manifold is a Riemannian manifold endowed with three integrable almost complex structures that are Kähler with respect to the Riemannian metric and satisfy the quaternionic relations . In particular, it is a hypercomplex manifold. All hyperkähler manifolds are Ricci-flat and are thus Calabi–Yau manifolds. Hyperkähler manifolds were defined by Eugenio Calabi in 1979. Equivalently, a hyperkähler manifold is a Riemannian manifold of dimension whose holonomy group is contained in the compact symplectic group Sp(n).
Metric connectionIn mathematics, a metric connection is a connection in a vector bundle E equipped with a bundle metric; that is, a metric for which the inner product of any two vectors will remain the same when those vectors are parallel transported along any curve. This is equivalent to: A connection for which the covariant derivatives of the metric on E vanish. A principal connection on the bundle of orthonormal frames of E. A special case of a metric connection is a Riemannian connection; there is a unique such which is torsion free, the Levi-Civita connection.
Variété kählérienneEn mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kählériennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe. Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler. Plusieurs définitions équivalentes existent.
Théorie des invariantsEn mathématiques, la théorie des invariants, initiée et développée en particulier par Arthur Cayley, James Joseph Sylvester, Charles Hermite, Paul Gordan et de nombreux autres mathématiciens, est l'étude des invariants des formes algébriques (de façon équivalente, des tenseurs symétriques) pour les actions de groupe lors des transformations linéaires. À la fin du , elle est au centre d'un important effort de recherche lorsqu'il apparaît qu'elle pourrait être la clé de voûte en algorithmique (en compétition avec d'autres formulations mathématiques de l'invariance de la symétrie).
Lexique de la géométrie riemannienneLa géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés. Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ; Application exponentielle : Application différentiable définie naturellement pour toute variété riemannienne complète.
Tenseur métriqueEn géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice symétrique, généralement notée , pour ne pas confondre la matrice (en majuscule) et le tenseur métrique g.
