PolytopeUn polytope est un objet mathématique géométrique. Le terme de polytope a été inventé par Alicia Boole Stott, la fille du logicien George Boole. Le terme polytope admet plusieurs définitions au sein des mathématiques. Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays.
Polytope régulierdroite|vignette|Le dodécaèdre régulier, un des cinq solides platoniciens. En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens.
4-polytopeEn géométrie, un 4-polytope (fréquemment appelé également un polychore) est un polytope de l'espace à quatre dimensions. C'est une figure connexe, composée d'un nombre fini de polytopes de dimension inférieure : des sommets, des arêtes, des faces (qui sont des polygones), et des cellules (qui sont des polyèdres), chaque face appartenant à exactement deux cellules. Le 4-polytope le plus connu est le tesseract (ou hypercube), analogue en 4D du cube. La définition des 4-polytopes varie beaucoup selon les auteurs.
Regular 4-polytopeIn mathematics, a regular 4-polytope is a regular four-dimensional polytope. They are the four-dimensional analogues of the regular polyhedra in three dimensions and the regular polygons in two dimensions. There are six convex and ten star regular 4-polytopes, giving a total of sixteen. The convex regular 4-polytopes were first described by the Swiss mathematician Ludwig Schläfli in the mid-19th century. He discovered that there are precisely six such figures.
Semiregular polytopeIn geometry, by Thorold Gosset's definition a semiregular polytope is usually taken to be a polytope that is vertex-transitive and has all its facets being regular polytopes. E.L. Elte compiled a longer list in 1912 as The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces which included a wider definition. In three-dimensional space and below, the terms semiregular polytope and uniform polytope have identical meanings, because all uniform polygons must be regular.
5-polytopeIn geometry, a five-dimensional polytope (or 5-polytope) is a polytope in five-dimensional space, bounded by (4-polytope) facets, pairs of which share a polyhedral cell. A 5-polytope is a closed five-dimensional figure with vertices, edges, faces, and cells, and 4-faces. A vertex is a point where five or more edges meet. An edge is a line segment where four or more faces meet, and a face is a polygon where three or more cells meet. A cell is a polyhedron, and a 4-face is a 4-polytope.
Polytope abstraitEn mathématiques, et plus particulièrement en géométrie discrète, un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné dont l'ordre reflète les propriétés combinatoires d'un polytope (au sens traditionnel, généralisant les polygones et les polyèdres à un nombre de dimensions quelconque), mais pas les aspects géométriques usuels, tels que les angles ou les distances. On dit qu'un polytope (géométrique) est une réalisation dans un espace à n dimensions (le plus souvent euclidien) du polytope abstrait correspondant.
6-polytopeIn six-dimensional geometry, a six-dimensional polytope or 6-polytope is a polytope, bounded by 5-polytope facets. A 6-polytope is a closed six-dimensional figure with vertices, edges, faces, cells (3-faces), 4-faces, and 5-faces. A vertex is a point where six or more edges meet. An edge is a line segment where four or more faces meet, and a face is a polygon where three or more cells meet. A cell is a polyhedron. A 4-face is a polychoron, and a 5-face is a 5-polytope.
Regular PolytopesRegular Polytopes est un livre de mathématiques écrit par le mathématicien canadien Harold Scott MacDonald Coxeter. Initialement publié en 1947, le livre a été mis à jour et réédité en 1963 et 1973. Le livre est une étude complète de la géométrie des polytopes réguliers, c'est-à-dire les polygones et polyèdres réguliers ainsi que leurs généralisations aux dimensions supérieures. Provenant d'un essai intitulé L'Analogie dimensionnelle écrit en 1923, la première édition du livre a pris à Coxeter vingt-quatre ans.
Équation différentielle linéaireUne équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.
Équation linéaireUne équation à coefficients réels ou complexes est dite linéaire quand elle peut être présentée sous la forme ax = b ou, de manière équivalente ax – b = 0, où x est l'inconnue, a et b sont deux nombres donnés. Si a est différent de zéro, la seule solution est le nombre x = b/a. Plus généralement, une équation est dite linéaire lorsqu'elle se présente sous la forme u(x) = b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b étant un vecteur donné de F. On recherche l'inconnue x dans E.
Équationvignette|upright=1.2|Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité. vignette|upright=1.2|Un système dynamique correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certains cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée attracteur étrange. Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Équation des ondesL' ou est une équation aux dérivées partielles en physique qui régit la propagation d'une onde. C'est une équation vérifiée par de nombreux phénomènes ondulatoires de la vie courante comme le son ou la lumière. avec : l'opérateur laplacien ; l'onde vectorielle; une constante, vitesse de propagation de dans le milieu considéré ; L'utilisation du laplacien permet de s'affranchir du choix d'un système de coordonnées. avec : l'opérateur de dérivée partielle seconde en appliqué sur ; , les trois variables cartésiennes de l'espace, et celle du temps.
Direct sumThe direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary kind of structure, the abelian group. The direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and . To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate-wise.
Famillevignette|Le repas familial (gravure sur bois, ). vignette|La famille de Philippe V d'Espagne (en 1723). vignette|Le portrait de famille est une des formes picturales répandues d'abord dans les familles nobles puis chez les familles bourgeoises (ici la famille Souchay vers 1805). vignette|Un peu de conversation, huile sur toile de Lilly Martin Spencer, vers 1851-1852 vignette|Peinture à l'huile de Jean de Francqueville intitulée . thumb|Portrait d'un chef camerounais et de sa famille (entre 1910 et 1930).
Système d'équations linéairesEn mathématiques et particulièrement en algèbre linéaire, un système d'équations linéaires est un système d'équations constitué d'équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple : Le problème est de trouver les valeurs des inconnues , et qui satisfassent les trois équations simultanément. La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en traitement numérique du signal, en optimisation linéaire, ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en analyse numérique.
Espace de Minkowskithumb|Représentation schématique de l'espace de Minkowski, qui montre seulement deux des trois dimensions spatiales. En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de Minkowski ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie.
Face (géométrie)vignette|Un cube : les surfaces en rouge sont les faces du cube. Chaque sommet est entouré par trois faces. En géométrie, les faces d'un polyèdre sont les polygones qui le bordent. Par exemple, un cube possède six faces qui sont des carrés. Le suffixe èdre (dans polyèdre) est dérivé du grec hedra, qui signifie face. Par extension, les faces d'un polytope de dimension n sont tous les polytopes de dimension strictement inférieure à n qui le bordent (et pas seulement ceux de dimension n-1).
Équation différentielleEn mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle. On distingue généralement deux types d'équations différentielles : les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues recherchées ne dépendent que d'une seule variable ; les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.
